Solo Al Secondo Grado

MATEMATICA / LOGICA / GIOCHI , tracce varie .

Nota preliminare ;

la presente  pagina  insieme a quella denominata :’

:’ Presentazione / MATEMATICA & LOGICA ,  le SOLUZIONI.

( vedi al link ;
https://soloalsecondogrado.wordpress.com/presentazione-matematica-logica-le-soluzioni/ ) ,

costituiscono una sorta di  ‘SOTTO’ /blog   in cui vengono trattati temi specifici , come dai  titoli  delle due pagine definiti .

Quanto seguirà nei post/commenti della pagina qui sopra indicata (‘ MATEMATICA & LOGICA ,le SOLUZIONI ‘) , non sono che le quattro soluzioni del problema –  che fu ‘logo principale’  – del blog eliso con la cancellazione del sito : ‘ I.P. it  ‘ nel 2010 , di cui ero l’autore .

Invece in questa pagina saranno trattati tutti i temi già indicati nell’ articolo :’

: ‘ Presentazione / MATEMATICA & LOGICA . ‘

Tranne, ovviamente, le quattro soluzioni ora citate .
[ Vedi questo articolo  ne : ‘ ARCHIVIO , marzo 2011 ‘  oppure al seguente link ;

https://soloalsecondogrado.wordpress.com/2011/03/13/presentazione/

( I lavori indicati nell’articolo individuato con questo questo link sono datati con le date del vecchio blog eliso di cui qui sopra fatto cenno .)

Circa la presentazione di quanto qui segue si veda all’articolo, omonimo di questa pagina .  ( Link  di rinvio nel primo commento qui in fondo o, vedi ;  ‘ARCHIVIO , aprile 2011 ‘ .
O direttamente al seguente link ) ;

https://soloalsecondogrado.wordpress.com/2011/04/28/matematica-logica-giochi-tracce-varie/

Si inizia qui di seguito con una vecchia questione matematica/logica .Essa risale al periodo rinascimentale .

 …………………………Disputa sulle MONETE . ………………….

Si tratta di individuare tra 12 monete date, quella ‘falsa’ cioè quella che ha un peso differente da tutte le altre . Essa può essere più pesante o più leggera . Questo non lo si sa, ma lo si deve capire nel corso della ricerca della moneta falsa .

Per individuarla si ha a disposizione una ‘stadera’ cioè una bilancia a due piatti . Ed un numero limitato di ‘pesate’ : tre pesate .

Si vedrà che il numero minimo con cui si può sempre con certezza individuare la moneta ‘falsa’ è in tre tentativi/pesate .

La complessità del gioco logico sta nell’individuare non solo la strategia operativa, ma anche il modo con cui organizzare i gruppi di monete da confrontare ( ad es. sei monete su un piatto della bilancia e sei nell’altro, oppure tre contro tre etc…) .

Nota ( digressione ) ;
le monete nel disegno
sono disposte come in antiche costruzioni ‘ a getto ‘ (o, ‘aggetto’) , in cui ogni elemento strutturale è ben visibile, essendo leggermente ‘spiazzato’ rispetto a quello che precede ed al successivo .[ Queste strutture ‘ a getto ‘ servivano in architettura per determinare dei punti luce – finestre, porte e similari – ,come oggi si utilizza ‘ l’arco ‘] . A parità di inclinazione di ogni singolo elemento(tutti sono disposti sul piano dell’orizzonte) , si varia la posizione dell’asse strutturale/portante , falsando/spiazzando l’allineamento degli elementi formanti la struttura. Si ottiene una sorta di ‘scaleo’ ,cioè una scala doppia a libro .
Se si vuole,è questa la forma più antica (proto-forma) della costruzione ‘ ad ARCO ‘ ; ;qui invece, grazie ad una diversa inclinazione di ogni singolo elemento ( da una inclinazione orizzontale ad una verticale), si varia la posizione dell’arco strutturale mantenendo l’allineamento .

 

Precisazione sulla scrittura matematica .

Quando possibile ogni espressione matematica ha una doppia trascrizione ;

la prima è espressa in maniera non ortodossa – tipo ad es. ; ’3xquadro’ – … e subito sotto

la seconda, con espressione tipica matematica .Quest’ultima richiede necessariamente link d’immagine ( per lo meno nei commenti ).

Il link pur permettendo valida espressione algebrica ha l’inconveniente di essere ‘inattivo’ a periodi e/o in certi casi .Per evitare la mancata lettura di ciò che trascritto vengono riportate entrambe le scritture .

‘ CALCOLATRICI ONLINE ‘

Nell’articolo di giugno 2011 :’CALCOLATRICE ONLINE ‘ ,
,vedi in;’ARCHIVI 2011 ‘ o direttamente al seguente link ;

https://soloalsecondogrado.wordpress.com/2011/06/19/calcolatrice-online/

sono riportati tre link che immettono al calcolo online, sia con sistema di rappresentazione del calcolo svolto ( calcolatrice al primo link ) sia per calcoli di numeri naturali molto grandi – e tra questi alcuni numeri primi ( calcolatrice al secondo link )…-

I primi due link ;

http://web2.0calc.com/

e

http://world.std.com/~reinhold/BigNumCalc.html

Il terzo link ;

; http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/primzahlen.htm

veifica – come il secondo link qui sopra – la primalità di un numero( anche se con minor efficienza rispetto a quello ) .
Viene tuttavia qui riportato perchè contiene la funzione di indicare di un dato numero non primo la sua possibile scomposizine in fattori – cioè per quali valori naturali è divisibile – .

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Commenti su: "MATEMATICA / LOGICA / GIOCHI , tracce varie ." (21)

  1. […] MATEMATICA / LOGICA / GIOCHI , tracce varie . […]

  2. …………..’DISPUTA’ sulle MONETE . …………….

    (…segue )

    PRIMA di affrontare un nuovo modo di impostare la faccenda sottolineo alcuni ELEMENTI RISOLUTIVI DI BASE – della soluzione trovata – che poi potranno tornare utili , perchè applicabili ad altri potenziali procedimenti. Alludo – come si vedrà nel post successivo – allo ‘SPAREGGIO’ e così via .

    .

    Elementi base.

    Se ho tre monete ed un tentativo a disposizione ( una ‘pesata’ )posso determinare/individuare la falsa SOLO se so che questa è più pesante o più leggera.
    A sua volta se più pesante o più leggera l’ho determinato da precedenti tentativi.

    Ricordo che vi erano 12 monete e tre tentativi a disposizione – con una virtuale bilancia a due piatti utilizzabile , senza sapere se la moneta falsa era più pesante o più leggera .

    Il tentativo -singolo – che permette (con tre monete e sapendo se è più pesante o leggera) di risolvere infine il problema l’ho chiamato : ‘SPAREGGIO’.
    Consiste semplicemente nel raffrontare/pesare due di queste monete, se pari la non pesata è quella falsa e so già, dai due precedenti tentativi, se più pesante o leggera.Se sbilancia so quella che è falsa .

    La SOLUZIONE del PROBLMA ORGANIZZANDO TRE GRUPPI di QUATTRO MONETE.

    Organizzando tre gruppi di quattro monete, il problema nasce (si complica) solo se al primo tentativo vi era uno sbilanciamento – cioè se la moneta falsa è in uno dei due gruppi confrontati – .

    Difatti in caso contrario – cioè si bilanciano al primo tentativo, i due gruppi confrontati – la faccenda diviene subito semplice; restano due tentativi e quattro monete . Basta allora mettere da parte una delle quattro e confrontare le tre con tre monete vere . Se i due gruppi si bilanciano, ora di tre ,allora al secondo tentativo si è già individuato la falsa – senza però sapere se è più pesante o più leggera – .
    Se sbilancia da una parte o dall’altra,basta spareggiare le tre monete del gruppo in cui vi è la falsa come qui sopra indicato .

    Nel caso più complesso ,
    in cui vi è uno sbilanciamento al primo tentativo dei due gruppi confrontati di quattro monete , la situazione richiede un procedimento in cui si selezionano (isolano) in ogni caso gruppi di tre monete sapendo se potenzialmente contenente una moneta più leggera o più pesante .
    Questo avviene togliendo – dopo il primo tentativo – una moneta (la prima segnata) da un gruppo e una dall’altro (la seconda segnata) .
    Quindi si isola (si mette da parte) uno dei due gruppi – di tre monete – e si confronta l’altro gruppo ,con l’aggiunta della moneta segnata che era nell’altro gruppo
    (quello ora isolato), con tre monete vere con l’aggiunta della restante moneta segnata .
    [ Cioè confronto tre monete di un gruppo con l’aggiunta di una moneta che faceva parte dell’altro gruppo,- tutte e quattro potenzialmente false -, con un gruppo formato da tre monete sicuramente vere con l’aggiunta di una moneta, potenzialmente falsa, che faceva parte dell’altro gruppo ].
    Se lo sbilanciamento resta dalla stessa parte si escludono logicamente le due monete segnate ( perchè sicuramente vere,poichè spostate da un gruppo all’altro non possono essere state – una delle due – prima più pesanti e poi più leggere o viceversa) .

    Se lo sbilanciamento si rovescia si escudono le tre monete del gruppo riconfrontato per le stesse ragioni logiche delle due segnate . E tra le due monete segnate è ora quindi la moneta falsa, basta dunque confrontare una delle due con una vera.

    Se al secondo tentativo i due gruppi – come sopra riorganizzati – sono pari la moneta falsa è in una delle tre messe da parte (isolate) e, poichè si sa dal primo tentativo dove sbilancia, ecco che posso spareggiare .

    ( continua … )

  3. (…segue )

    …………..’DISPUTA’ sulle MONETE . . …………….

    .

    Nota ;
    Nessuno poteva a priori sapere come organizzare i gruppi di monete
    ; se di tre di quattro etc… ,
    a meno che questo ‘gioco’ non fosse la risultanza di un calcolo/modello matematico di cui il gioco in questione non ne è che una risultante .

    A soluzione ci si arriva con molta pazienza e un pò di ragionamento, procedendo con ordine per evitare di ripetersi nei passaggi come in un labirinto .

    QUESTO NON TOGLIE VALORE A PROCEDIMENTI CHE NON NECESSARIAMENTE PORTANO A SOLUZIONE .

    IN PROPOSITO MI PREME SOTTOLINEARE che spesso nei procedimenti scientifici se è alla ribalta il premio Nobel di turno, non lo sono – alle volte ingiustamente – Coloro che hanno battuto strade diverse, strade che a priori non potevano essere escluse anche se poi non hanno portato al ‘risultato’ .

    Nella figura di questo post ho posto due gruppi di tre monete. Non certo a caso .

    Proviamo ora ad organizzare,

    ………………………..QUATTRO GRUPPI di TRE MONETE .

    Si può subito notare un fatto analogo ma contrario al problema come precedentemente impostato (**):
    : se confronto due gruppi di tre monete e vi è uno sbilanciamento
    da una parte o dall’altra il problema è facilmente risolvibile. Basta infatti confrontare uno dei due gruppi con tre monete vere.
    Procedo allora a confrontare uno dei due gruppi ( scelgo a caso ) confrontati con tre monete vere .
    Se in questo secondo confronto vi è bilanciamento la moneta falsa è nel gruppo isolato dopo il primo tentativo e da come ha sbilanciato posso spareggiare le tre monete che compongono tale gruppo.
    Se invece nel secondo confronto vi è sbilanciamento (necessariamente dalla stessa parte che si è verificato nel primo) allora posso spareggiare le tre monete del gruppo riconfrontato .
    (**) Ecco perchè il problema è uguale ed opposto al precedente
    ;
    ;come nel caso di tre gruppi di quattro monete la faccenda si complicava solo se lo sbilanciamento avviene al primo tentativo,
    qui la faccenda si complica solo se al primo confronto NON vi è sbilanciamento tra i due gruppi di tre monete.

    MA ALLORA IL PROBLEMA DE ; 12 monete con tre tentativi organizzando quattro gruppi di tre monete,

    SI RIDUCE a :

    : 6 MONETE CON DUE TENTATIVI A DISPOSIZIONE .

    ( Ecco spiegata la ragione delle 6 monete poste in fotografia ) .

    Nota;
    ; nel caso precedente, il problema de: 12 monete con tre tentativi a disposizione organizzando tre gruppi di quattro monete NON E’ RIDUCIBILE A
    :
    : otto monete con due tentativi, poichè lo sbilanciamento che vi è al primo tentativo è dato fondamentale per la soluzione .
    [ Ma ad ogni modo si noti il fatto che da una parte avrei; due tentativi con 6 monete, e dall’ altra avrei due tentativi con 8 monete e con un informazione circa lo sbilanciamento.
    A priori è difficile dire dove si ‘va a parare’,in un caso e nell’altro ] .

    In questo caso, organizzando quattro gruppi di tre monete e tre pesate a disposizione,riduco il tutto a sei monete e due tentativi/pesate a disposizione . Un pò come razionalizzare una frazione; ad es 3/21 in 1/7 .

    ( continua… )

  4. ( … segue )

    ……………………’DISPUTA’ sulle MONETE , ……………

    conclusione .

    .

    Si parte dunque con 6 monete e due tentativi a disposizione.

    Si nota subito che posso mettere da parte non più di due monete. Difatti se ne mettessi da parte tre e poi nel confronto tra le tre rimaste in gioco e tre vere vi fosse bilanciamento non potrei spareggiare le tre escluse, – ma due si -. Anche se (spareggiando una delle due escluse con una vera) , ci sarebbe il caso che potrei non sapere, al secondo tentativo,se la falsa ,seppur individuata, è più pesante o più leggera .

    Restano allora due da parte e quattro in gioco con due tentativi .
    Le quattro le chiamo ; a* , b* , c* e d* .
    Si è sopra già accennato che se la falsa non fosse tra queste quattro il problema sarebbe risolto con lo spareggio tra le due messe da parte ma con il possibile caso di non sapere se la falsa è più pesante o più leggera .

    Poniamo quindi il caso – più complesso – che la falsa è tra queste quattro .
    Devo necessariamente confrontarle tra loro.Escludendone anche solo una poi non potrei,come detto – in caso di bilanciamento – spareggiare le escluse .
    Posto a* e b* da una parte(a sinistra di chi guarda) e c* e d* dall’altra. Ipotizziamo ora che sbilanci a sinistra in basso .
    Ne deriva a* o b* più pesante o, c* o d* più leggera .

    Per le stesse ragioni di cui sopra ne posso ora escludere una – ed una sola – .
    Ad arbitrio escludo d* . [//]
    Provando ad organizzare i possibili gruppi tra le tre rimaste si nota che posso organizzare tre tipi di gruppi ;

    ; a* con b* a sinistra – o a destra,che è uguale -,(a destra dunque c* con una vera),

    , a* con c*,

    , b* con c* .

    Si tratta della metà della combinazione di 4 elementi presi 2 a 2 . Metà perchè si esclude (si esclude dal ricontare) le restanti combinazioni a destra, o sinistra, ( nel caso, rispettivamente in relazione alle tre combinazioni qui sopra espresse; c*con v* , b* con v* e a* con v* , v* è quella vera) .

    Analizzando i tre raggruppamenti si nota che l’incertezza rimane sempre su almeno due monete;
    ; nel primo caso ( a* con b* da una parte e c* con v* dall’altra) , non posso stabilire se a* o b* più pesante o c* più leggera ( lo sbilanciamento non può che essere a sinistra come prima ).

    Nel secondo gruppo b* è ora dalla parte opposta rispetto al primo tentativo ,così come c* . Posso sapere – se lo sbilanciamento è a sinistra – che a* è la falsa ed è più pesante.
    Ma se lo sbilanciamento è a destra non posso sapere se ciò è dipeso da b* più pesante o c* più leggera .

    Nel terzo gruppo b* è anche dalla parte opposta rispetto al primo tentativo . L’incertezza rimane tra una possibile a* più pesante, o c* più leggera (sempre nell’ipotesi di uno sbilanciamento a sinistra) .

    SI NOTI che già al punto [//] di cui sopra,si vede che non è possibile risolvere in questo modo di raggruppare , poichè mi ritrovo con tre monete ed un solo tentativo senza sapere se la falsa è più pesante o più leggera .

    Organizzando in qualsiasi modo quattro gruppi di tre monete si è ora qui sopra visto/dimostrato che è impossibile arrivare con certezza a soluzione , ( in alcuni casi – cioè se è in un determinato gruppo o a seconda se è più leggera o più pesante – si individua la moneta falsa ma non in altri ) .

  5. Un SALTO nel PASSATO.

    Alias,
    la NASCITA dei NUMERI COMPLESSI od IMMAGINARI

    e

    la NASCITA degli ”ASSI bombelliani” poi cartesiani .

    Una premessa.

    Credo che raramente tra le varie discipline come in quella matematica vi sia stata tanta trascuratezza nello studio delle sue origini,e dunque nell’evoluzione storica del suo pensiero.Ogni studio in merito è bollato in maniera non esplicita come ‘chiacchiere inutili’ o giù di lì .
    Niente di più falso e limitante la ricerca stessa.
    Il metodo attuale è principalmente costituito nel fornire uno scopo/un’idea,i mezzi, il procedimento ed infine il risultato/soluzione.

    Un meccanismo fatto di ingranaggi che tanto mi ricorda il modello dell’universo di Newton che tutti sappiamo da chi superato,pur certo restante la validità di certi principi.

    Nei post successivi questo si mostrerà il sistema geometrico che ha permesso la soluzione delle equazioni di terzo grado. ( ** )

    ( Si vedranno i post denominati :‘ Problema dei cubi ‘ ).

    Queste soluzioni furono tutte italiane ( per la cronaca Scipione Da(e)l Ferro e Niccolò Fontana alias il ‘ Tartaglia ‘).

    Sulla scia dello studio di tali soluzioni si pervenne pure ad un nuovo campo di studi,
    che permetterà di trovare soluzioni appartenenti al campo Reale, che si trovavano anche d’acchito, ad occhio ma che l’algebra di allora negava.

    Chi intraprese – con coraggio per i tempi poichè ‘ l’horror vacui ‘ non faceva allora affatto sorridere – tale studio e dunque ne è l’artefice fu R. Bombelli .
    La conseguenza di quegli studi fu, tra l’altro, la scoperta/costruzione sempre da parte del Bombelli,

    universalmente attribuita ( impropriamente come si vedrà ) al francese Descartes – Cartesio nel nome umanistico -,

    della struttura degli ”assi coordinati, poi cartesiani”.

    Assi che possiamo dire non ‘francesi’ ma italiani a tutti gli effetti.
    Vedi figura riportante gli ‘ assi costruiti da Bombelli – coordinate ‘bombelliane’ – ‘ nella figura qui sotto
    ; ‘ assi Bombelli ‘.
    Egli li costruì nel tentativo di dare una costruzione/dimostrazione grafica della soluzione trovata per via algebrica e per giunta tramite il nuovo campo dei numeri ‘complessi o immaginari’ da lui stesso ideati…

    Entrando in merito,riporto l’equazione ridotta di terzo grado che fu utilizzata per la scoperta del nuovo dominio matematico, – un vero e proprio reperto archeologico –

    Xcubo = 15X + 4.

    .
    soloalsecondogrado equaz.archeologica

    Se si prova ad estrarre la soluzione positiva mediante la formula/algoritmo risolutivo allora scoperto – cioè;

    X=rad.cub.de[ q/2+rad.quadr.de(q quadro/4 – p cubo/27)] +rad.cub.de[q/2-rad.quadr.de(q quadro/4 – p cubo/27)],dove p=15,q=4,

    mat37

    [ Nei post successivi questo algoritmo risolutivo sarà dedotto in tutti i suoi passaggi ]

    si vede che il valore sotto radice quadrata è negativo ( meno 121).

    mat38

    Si è ora già capito che il nuovo dominio di cui si parla è quello dei numeri immaginari o complessi.

    Bombelli dovette gioco forza definire tale dominio come pure le operazioni tra reali ed immaginari come tra immaginari tra loro.
    Capì che un numero negativo sotto radice quadrata poteva essere definito come la radice del suo positivo ( cioè il valore assoluto del numero )moltiplicata/o per la radice quadrata di ‘ meno 1 ‘.

    mat39

    Ecco la Sua segnatura ,
    , ( le espressioni letterarie adottate da Bombelli ) ;

    ; rad.quadr. di meno 1 = ‘più di meno’.

    Meno la rad.quadr. di meno1 = ‘ meno di meno’.

    La moltiplicazione la indicava come ‘ via ‘.

    Così per Lui ; ‘ più di meno’ via ‘più di meno’ era uguale a ;‘meno di più’ [ cioè meno 1, (-1) ].

    mat40

    [ N.d.s.; la faccenda è carina od allucinante ? ].
    Così facendo riuscì ad impostare il sistema risolutivo dell’equazione data di cui sopra.

    Come si vedrà qui subito sotto in ogni suo passaggio, la soluzione sarà data dalla somma di due valori reali(2) con (2) e dall’elisione dei due valori immaginari opposti per segno ( ‘ + radice quadrata di -1 ‘ ,’ – radice quadrata di -1 ‘)

    Cioè imposto dopo trasformazione dell’algoritmo risolvente,e sua stessa semplificazione;
    X= ( 2 + ‘più di meno’) + ( 2 – ‘più di meno’ )

    mat43

    da cui , X=4 la soluzione.

    Prima parte percorso risolutivo – completo – svolto da Bombelli;
    (immagini 1 e 2 seguenti )

    Dalla risoluzione di una equazione di terzo grado ‘irriducibile’ ridotta, alla nascita dei numeri immaginari o complessi. The resolution of an equation of third degree ‘incalculable’ reduced, to the birth of the imaginary or complex numbers.

    Dalla risoluzione di una equazione di terzo grado ‘irriducibile’ ridotta, alla nascita dei numeri immaginari o complessi.
    The resolution of an equation of third degree ‘incalculable’ reduced, to the birth of the imaginary or complex numbers.

    Seconda parte, conclusiva, della risoluzione di una equazione di terzo grado ‘irriducibile’ ridotta, mediante l’ideazione/creazione dei numeri complessi od immaginari.

    Seconda parte,
    conclusiva, della risoluzione di una equazione di terzo grado ‘irriducibile’ ridotta, mediante l’ideazione/creazione dei numeri complessi od immaginari.

    Il modello su assi poi cartesiani fu ideato da questo matematico italiano proprio come strumento dimostrativo della soluzione trovata.

    Ecco la sua costruzione grafica;

    ____________________________ La rappresentazione/dimostrazione grafica della soluzione;

    Cartesian axes or axes of Bombelli? Questa costruzione su assi coordinati, oggi comunemente definiti 'assi cartesiani' fu in realtà tempo prima di Cartesio - René Descartes - ideata da R. Bombelli ,per dare prova grafica - geometrica della soluzione algebrica per via 'complessa/immaginaria' da lui trovata di una equazione di terzo grado.

    Cartesian axes or axes of Bombelli?
    Questa costruzione su assi coordinati, oggi comunemente definiti ‘assi cartesiani’ fu in realtà tempo prima di Cartesio – René Descartes – ideata da R. Bombelli ,per dare prova grafica – geometrica della soluzione algebrica per via ‘complessa/immaginaria’ da lui trovata di una equazione di terzo grado.

    Sopra due assi ortogonali ( ‘s’ ed ‘r’ ) si doveva costruire un rettangolo di area ‘q’ .Una prima squadra ( da disegno ) ,nel grafico di colore verde, – posta con i bracci obliqui rispetto ai due assi – individua questa area ‘q’ nel rettangolo CLME .
    ( Il lato EM del rettangolo CLME, è determinato dal punto di contatto tra il vertice ‘D’ della squadra con l’asse ‘s’,e il lato CE è determinato dal punto ‘C’ scelto arbitrariamente lungo il segmento BE individuato dall’altro braccio della squadra ).
    Fatto questo per trovare un rettangolo di pari area ‘q’ ( ma di lati differenti dal rettangolo CLME ) occorreva costruirne uno analogo con una seconda squadra ,di colore marrone nel disegno, che fatta scorrere – con i bracci ortogonali rispetto agli assi – lungo l’asse verticale ‘s’ ,all’altezza del segmento BC, avesse il proprio vertice ‘k’ allineato col punto ‘c’ e vertice ‘D’ dell’altra squadra. Così si individuava questo secondo rettangolo BCFH di area ‘q’ ;

    ;
    mat57

    Dimostrazione  che i due rettangoli CLME e BCFH hanno pari area ‘q’ .

    Dimostrazione
    che i due rettangoli CLME e BCFH hanno pari area ‘q’ .

    Bombelli, per nulla sicuro di se,
    e ciò è ben comprensibile avendo con un solo percorso individuato;

    ° soluzione di una equazione di terzo grado ‘irriducibile’ fino ad allora da nessuno risolta,

    ° ideato/scoperto un campo del tutto nuovo; quello dei numeri complessi o immaginari,

    ° ideato/scoperto la rappresentazione grafica mediante assi coordinati seppur ancora ‘in nuce’ e che troveranno piena realizzazione con Cartesio ,

    scrive nel suo testo -mai pubblicato per la sua morte, ma fortunatamente rimastone traccia in un manoscritto in unico esemplare –

    :’ …benché a molti parrà questa cosa stravagante, perché di questa opinione fui anche già un tempo parendomi più tosto fosse sofistica , che vera , nondimeno tanto cercai, che trovai la dimostrazione, la quale sarà qui sotto notata, si che questa ancora si può mostrare in linea, che pure nelle operationi serve senza difficultade alcuna, et assai volte si trova la valuta del Tanto per numero (cioè la radice/soluzione,ndc )…’
    R. Bombelli 1570

    Vi era allora questa sorta di ‘ansia’ che tutto avesse una rappresentazione reale.
    Era sostanzialmente una dimostrazione per linee in superficie piana,cioè un modello bidimensionale in cui si confrontano le aree di due rettangoli. Allorché ,al variare di ‘X’ esse coincidono si è trovata la soluzione come sopra.

    Si può certamente dire che fu un italiano, il Nostro Bombelli, lo scopritore dei numeri immaginari o complessi .

    Più tardi il matematico svizzero Eulero marcherà, per semplicità, con la lettera ‘ i ‘ la rad.quadr. di meno 1.

    mat44

    Poi il tedesco Gauss definirà tali numeri come complessi essendo costituiti da coppie di numeri reali -.

    Ma si può pure dire che l’antesignano degli assi poi cartesiani fu pure un italiano.

    La teoria dei numeri immaginari ha avuto dunque origine intorno alla ricerca delle soluzioni/radici di equazioni cubiche poichè la soluzione era reale ma non il procedimento – immaginario –.

    ( ** )
    Prima di affrontare i metodi/algoritmi risolutivi geometrici e non geometrici delle equazioni di terzo grado – senza l’utilizzo della trigonometria – si affronteranno nei post qui di seguito,
    i metodi/algoritmi per la risoluzione geometrica delle equazioni di secondo grado .

    Per la risoluzione algebrica ‘NON CLASSICA ‘ di una equazione di secondo grado , vedi al link;


    https://soloalsecondogrado.wordpress.com/presentazione-matematica-logica-le-soluzioni/

    ( post del 20/maggio /2011 ; ‘ALGORITMO RISOLUTIVO’ ”NON CLASSICO” (ALGEBRICO) DI UNA EQUAZIONE GENERICA COMPLETA DI SECONDO GRADO .’)
    Saluti,topo.gigio .

  6. ………..La CONFIGURAZIONE/RISOLUZIONE GEOMETRICA

    ……di un’ EQUAZIONE di SECONDO GRADO – cenni storici/logici – ..

    Prima parte .

    Premessa.
    Confrontando il post ‘ Un salto nel passato’, (subito qui sopra ) e quanto si posterà col titolo de: ‘problema cubi’ con quanto qui di seguito accennato e nel post successivo completato , si noterà che ;
    le ingegnose soluzioni/rappresentazioni geometriche svolte nell’affrontare la soluzione dell’equazione di terzo grado non sono altro che l’evoluzione del pensiero delle soluzioni geometriche dell’equazione di secondo grado.
    Al secondo grado la configurazione geometrica è come intuibile basata su figure geometriche nel piano,cioè in due dimensioni.Mentre come si vedrà dalle configurazioni geometriche al terzo grado,la soluzione/rappresentazione si basa su solidi.

    Nota storica ;
    si è accennato nel post precedente, l’origine tutta italiana della risoluzione dell’equazione di terzo grado completa ,la nascita conseguenziale dei numeri immaginari o complessi [da cui ” l’embrione degli assi, poi Cartesiani, ad opera di F.Bombelli] e la successiva logica soluzione dell’equazione completa di quarto grado.

    L’origine della soluzione dell’equazione di secondo grado affonda nella notte dei tempi.

    Ciò che preme più di ogni altro elemento sottolineare è che da questa impostazione risolutiva in poi non si partirà più da problemi concreti con loro successiva astrazione,ma si percorrerà un procedimento inverso.

    La Teoria pura,come Ente e Valore a se stante,prende piede.

    Non si sa chi prima in assoluto giunse a soluzione ; probabilmente in varie parti dell’Oriente, dall’Estremo al Medio al Vicino, vi furono ‘gemmazioni’ spontanee ed indipendenti l’una dall’altra.
    I Greci approfittarono saggiamente di questi preziosi studi.
    Dopo vari secoli di stagnazione dello studio della matematica in tutta Europa,un pisano, Leonardo Pisano figlio di Messer Bonaccio – da cui l’appellativo di Leonardo Fibonacci,cioè ‘filius’ di Bonaccio – tra il XII ed il XIII sec. raccoglie in Algeria – allora Pisa era Repubblica Marinara e spaziava nel Mediterraneo – raccoglie grazie all’invito paterno,funzionario di dogana, il sapere matematico che gli Arabi avevano accumulato grazie al contatto col mondo indiano.
    Difatti Fibonacci parla espressamente di numeri ‘indiani’ e non arabi.
    E così apprese anche l’uso ed il valore nel calcolo dello zero e la numerazione decimale,peraltro già nota.
    Come altri italiani in altri campi – si pensi ad es. secoli dopo a Belzoni nell’egittologia -Fibonacci fu artefice del risveglio di un aspetto delle conoscenze umane.Con lui rinascerà lo studio del calcolo in tutta Europa.
    Egli è dunque da considerare come il primo grande algebrista d’Europa.
    Allora l’Algebra era ancora verbosa,difatti viene storicamente divisa in tre fondamentali categorie con riferimento alla sua forma.
    Una categoria è detta ‘retorica’;tante parole al posto dei numeri.La seconda,temporalmente successiva,è detta ‘sincopata’;parole e simboli.La terza è la ‘simbolica’ ; solo simboli.

    Nel post successivo si prenderanno in esame due casi particolari dei sei studiati in passato.

    Il primo; axquadro + bx = c , il secondo, axquadro + c = bx .

    matc1

    Si tenga presente che il coefficiente ”a” viene ridotto all’unità per giungere a soluzione geometrica,come sarà fatto nell’equazione di terzo grado.Operazione questa sempre possibile.
    Inoltre i valori dei coefficienti ”b” e ”c” [oltre ad ”a” ] sono valori positivi. Necessariamente positivi dovendo rappresentare misure di figure geometriche.
    Ne segue che la radice che viene presa in considerazione è solo quella positiva.

    Sarà interessante constatare che non solo il procedimento risolutivo geometrico nel secondo grado è fortemente parallelo con quello al terzo, ma anche gli algoritmi risolutivi in se sono simili nella struttura tra loro.
    Nel post successivo a questo si svolgerà nel dettaglio quanto sopra accennato;si passerà da tante parole ai soli simboli.

    Saluti,topo.gigio .

  7. La CONFIGURAZIONE/RISOLUZIONE GEOMETRICA di un’ EQUAZIONE di SECONDO GRADO ,

    La CONFIGURAZIONE/RISOLUZIONE GEOMETRICA di un’ EQUAZIONE di SECONDO GRADO ,

    seconda parte

    ; discussione e conclusione.

    Riscrivo dalla prima parte del post precedente;

    Prima equazione; axquadro + bx =c e la seconda equazione; axquadro + c = bx .

    matc1

    La prima equazione ; axquadro + bx = c

    ; viene ridotto il coefficiente ”a” all’unità, ”b” e ”c” , da ora in poi verranno marcati rispettivamente con i valori ”p” e ”q”. ”b” e ”c” cioè ”p” e ”q” > zero.

    La prima equazione diviene dunque; xquadro + px = q.

    matc2

    Si afferma circa la sua struttura :” i quadrati più le radici sono pari al numero”.

    Si tenga presente la figura 1 del grafico allegato, composta dagli elementi/figure ‘A’, ‘B’ e ‘C’ .

    Geometricamente si è in presenza di un quadrato di lato ”x” ed area ”x”quadro, (elem.’A’ ) .La radice è ”P”. Se divido ”P” in quattro parti posso costruire quattro rettangoli uguali di lato P/4 e ”x”,che posso sovrapporre al quadrato ( elem.’B’ ) nel grafico.La somma delle aree dei quattro rettangoli è pari a ‘Px’.

    La figura 1-‘B’, sorta di croce greca, si può completare con quattro quadrati di lato ‘P/4’.
    Così si ottiene il quadrato perfetto ‘C’ ( elem. ‘C’ ) . Di ‘C’ so che il lato è pari alla radice positiva de:”’ q+ [4(P/4)quadro] ”’, dunque ; x+2(P/4)=radice de:[ (P/2)quadro + q].
    Da cui l’algoritmo risolutivo ‘classico’ ………X= -P/2 + radice de [ (P/2)quadro + q].

    matc3

    Questa la prima rappresentazione/soluzione geometrica.
    La regola che se ne trae è ;si divide a metà la radice(P/2) si eleva al quadrato tale valore e ci si somma il numero(q).se ne prende la radice e da questa si sottrae la metà della radice.Ciò che si è ottenuto è la radice /soluzione positiva.

    La seconda soluzione/rappresentazione geometrica trova rappresentazione nella figura 2. ( Sempre della prima equazione )

    matc4

    Al quadrato di lato ”x” si accostano due rettangoli eguali di lati ‘P/2’ e ‘x’ ,( elem” B’ ). La somma delle aree dei due rettangoli è pari a (P/2)x + (P/2)x = Px.
    Completo la figura nel quadrato perfetto ‘C’. Di ‘C’ so che l’area del quadrato è pari a: q+[(P/2)quadro], la sua radice è pari al lato del quadrato stesso;rad.de ; ”’ [(P/2)quadro+q] ”’ = P/2 + x

    Da cui la soluzione, x = -P/2 + rad.de ”’ [ (P/2)quadro+q] ”’ .

    matc10

    Un esempio pratico;

    ; prendiamo l’equazione (x-2)(x+3)=0,che posso riscrivere come ………..Xquadro + x =6 .

    matc5

    …..Ripercorrendo il percorso geometrico di cui sopra ( che corrisponde all’algoritmo trovato ), posso dettare le seguenti regole;

    ;a) divido a metà ‘p’ p=1 implica quindi la sua metà pari a ‘1/2’ ,
    b) lo elevo al quadrato (1/2)quadro,
    c) vi sommo ‘q’ cioè ‘6’ ottenendo 25/4,
    d) ne ricavo la radice , 5/2 e da questa sottraggo metà di P,cioè vi sottraggo 1/2,ottenendo x=2,che è la radice positiva cercata.

    Lascio a chi legge l’applicazione della ricerca geometrica tramite secondofigura – 2.

    Si noti che se si fosse preso il valore negativo della radice -5/2, si sarebbe ottenuta anche la seconda radice x=-3.
    Infine si tenga presente che si è passati dall’equazione di partenza xquadro+x=6 all’espressione xquadro+x+1/4,quadrato perfetto de (x+1/2)quadro in cui x+1/2 è il lato del quadrato grande ‘C’ .

    La seconda equazione ; axquadro + c = bx.

    che come la prima trasformo ne ; xquadro + q = Px.

    condizione ; x < P/2.

    matc6

    Dalla figura 3 ; il rettangolo gcde(Px)=quadrato abcd(xquadro) + rettangolo gbae(q).
    gcde=xquadro+q.

    Sul segmento gf=P/2 si costruisce il quadrato gfkm, all’interno del rettangolo ehkm si costruisce il quadrato ihkl di lato P/2 – x. Ne deriva che il rettangolo eilm è di area x(p/2-x) cioè è uguale al rettangolo fbah.
    L’area del quadrato ihkl=gfkm – gbae, quindi il quadrato ihkl è pari a ; ihkl=(p/2)quadro – q. Il suo lato la radice de ; ”’ (p/2)quadro – q ”’ è uguale al segmento ”ah”.
    Il segmento ad=x=hd – ah = p/2 – radice de ; ”’ [ (p/2)quadro -q] ”’.Che è la radice cercata.

    matc9

    Se x = P/2 e non minore di p/2 ,come nella condizione/caso precedente, si ha la figura 3-B” ( l’ultima figura in basso a destra ).

    Algebricamente ; ad=hd-ah=hd=p/2 poichè ah=0.
    Difatti gfkm=gbae questo implica (p/2)quadro=q che implica delta uguale a zero.e quindi ad=p/2=x radice positiva, ed unica radice ( o, se si vuole , due radici coincidenti ) .
    Se addirittura x > P/2 si hanno solo radici immaginarie.

    La regola che se ne trae da questa rappresentazione/ soluzione geometrica è la seguente;
    a)si divide a metà la radice (p/2),
    b) la si eleva al quadrato,
    c) a questa si sottrae ‘q’,
    d) se ne ricava la radice,
    e) dalla metà della radice si sottrae il valore ottento .Il risultato è la radice positiva.
    x=p/2-radice de[(p/2)quadro-q].

    Un esempio: xquadro+3=4x.

    matc7

    a) 4/2
    b) ‘2’ al quadrato,
    c) 4-3=1,
    d) radice di 1 ,
    e) 4/2 -1 =x radice positiva.

    Anche in questo caso prendendo il valore negativo della radice otterrei la seconda radice che nel caso è positiva ; ‘x’ = 3.
    Il caso limite è rappresentato dall figura 3 elemento B”. x=p/2
    Un esempio è dato dal quadrato perfetto xquadro + 1 = 2x.

    matc8

    Lascio a chi legge di applicare quanto sopra.

  8. Una PRIMA TRACCIA per la RISOLUZIONE di una EQUAZIONE di TERZO GRADO .

    Prima parte

    .

    Nota;

    il monumento riprodotto nella fotografia di questo post ritrae un noto letterato persiano vissuto tra l’ XI ed il XII sec. ;
    ; Omar (al) KHAYYAM .
    Egli fu anche un grande matematico ed astronomo.
    A Lui si devono non tanto gli algoritmi risolutivi delle equazioni di terzo grado – traguardo questo raggiunto dagli algebristi italiani del Cinquecento,come si vedrà nei post sottostanti – ,bensì un primo abbozzo risolutivo delle equazioni di terzo grado mediante un metodo algebrico/geometrico su assi coordinati, abbozzo che già anticipava il concetto di ”FUNZIONE” e di ”ASSI COORDINATI ” .

    Certo Egli come Altri ebbe un primo appoggio indispensabile di base nel lavoro svolto già secoli prima da una parte dai matematici greci – quindi dal mondo Occidentale -, dall’altra dai matematici indiani col sistema decimale posizionale che comprendeva lo ‘zero’ ,(scoperta questa indiana anche se successivamente con imprecisione lessicale diverrà il sistema di numerazione ‘arabo’ ), – quindi dall’estremo Oriente – .
    Fu questi a proporre utilmente non solo la risoluzione geometrica delle equazioni di secondo grado,( vista nei post qui sopra ) ma anche una soluzione ALGEBRICA. Metodo quest’ultimo allora del tutto innovativo ; comportando un distacco totale da ogni riferimento geometrico e quindi ”visibile”, e quindi l’incipit dell’astrazione pura.
    E’ da sottolineare infine – circa il Suo operato in questa Scienza – che Egli tentò,senza successo, di approdare ad una soluzione algebrica (quindi mediante radici cubiche) delle equazioni di terzo grado sulla scia del lavoro già ottenuto al secondo .
    Questo appunto il tema di questo post e del successivo .

    Riconoscendo il proprio insuccesso capì tuttavia giustamente che ‘Altri’ dopo di Lui avrebbero raggiunto questo traguardo. Cosa che fu realizzata dai Nostri algebristi del Rinascimento italiano .
    Ebbe poi a definire ” L’ ALGEBRA ” come la :” TEORIA delle EQUAZIONI ” .Una definizione forse non del tutta ortodossa, ma assai semplice ed efficace nel descrivere l’oggetto di questo Studio .

    Omar (al) Khayyam fu un letterato – recentemente rivalutato – noto sopratutto per i suoi versi (le così dette ‘quartine’ ) che riflettono un atteggiamento che ha molta attinenza con la nostra Società ;
    da un lato un inno alle gioie ed ai piaceri della vita ; una sorta di ‘carpe diem’ ,
    dall’altro una visione scettica e tormentata dell’esistenza. Colta nella sua fragilità e finalità senza uno scopo apparente .
    Non si può che apprezzare una Figura in cui capacità da precordi si fusero con una grande perizia nel mondo delle scienze.

    IL TEMA di QUESTO POST ;

    Egli suddivise, come visto per le equazioni di secondo grado, vari tipi di equazioni di terzo grado ridotte (prive cioè dell’incognita al grado secondo) .

    Qui si affronta come esempio per tutte la seguente equazione ;

    ; Xcubo + bX = a , (I) , ( b,a > ; 0 ) . [vedi nota *]

    Si pone ; b=’p’quadro e a=’p’quadro’q’ (questo implica a=bq ) .

    matc11

    Sostituendo queste due relazioni poste nella (I) si ottiene;

    ; Xcubo + ‘p’quadroX = ‘p’quadro’q’ ,(II) che riscrivo come;

    ; X(Xquadro + ‘p’quadro) = ‘p’quadro’q’ , (II) .

    matc12

    La(II) è da vedere come una equazione generata da un sistema formato da due funzioni in
    f(X) .
    Così viste si può cercare di risalire alle due funzioni, che poste in un comune sistema generano l’equazione risolvente (II) .

    Nota * ;
    la (I) è una equazione che come si vedrà nei post sottostanti che saranno denominati ; ”Compendio problema cubi” , rientra nel caso ‘a’ .Questo tipo di equazioni ridotte di terzo grado hanno la caratteristica di avere il delta/discriminante della radice quadrata sempre positivo essendo sommati due addendi positivi ; ( ‘q’quadro/4 + ‘p’cubo/27 ), nel nostro caso ora visto;

    ( ‘a’quadro/4 + ‘b’cubo/27 ) .

    matc13

    Da questo deriva che vi è sempre e solo una radice reale per questo tipo di equazioni .( Anche questo lo si vedrà in dettaglio ) .

    (continua…)

  9. (…segue) ,

    Una PRIMA TRACCIA per la RISOLUZIONE di una EQUAZIONE di TERZO GRADO .

    Seconda parte .

    Riscrivo;
    Xcubo + bX = a , (I) [ a,b > 0 ] b=’p’quadro e a=’p’quadro’q’ ,

    , X(Xquadro + ‘p’quadro) = ‘p’quadro’q’ , (II) .

    matc12

    Alla ricerca di due funzioni che poste in un comune sistema generino l’ equazione risolvente (II) ,

    Egli pose la relazione y = (1/’p’)Xquadro , (III) .

    matc14

    Poste la (II) e la (III) in un comune sistema si ottiene ;

    X(Yp + ‘p’quadro) = ‘p’quadro’q’ , che semplificata diviene ;

    ; X(Y + p) = pq . ,

    matc15

    sostituendo in questa il valore di ‘p’ della (III) ;
    ; p=Xquadro/y ,,
    , si ottiene l’espressione ;

    ; Xquadro + Yquadro = qX , (IV) .

    matc16

    La (III) ; y=(1/’p’)Xquadro e la (IV) ; Xquadro + Yquadro = qX , poste in un comune sistema

    mat6

    generano la (II) e quindi la (I) .


    La rappresentazione grafica – su assi coordinati – della (III) e della (IV) .
    Il loro punto di incontro – ‘alfa’ – ‘alfa’ è la soluzione della (II) e quindi della (I) .

    Procedendo a questa operazione [ poste in un comune sistema la (III) e la (IV) ] si ottiene ;

    ; Xquarta + ‘p’quadroXquadro – ‘p’quadro’q’X = 0 , che evidenziando l’incognita diviene;

    ; X(Xcubo + ‘p’quadroX – ‘p’quadro’q’) = 0 , (V) .

    matc17

    Si vede che un valore risolvente la (V) è in X*=0 , ciò evidenzia il fatto che le due figure geometriche trovate e rappresentate nel grafico ; la (III) e la (IV) si incontrano in un punto X*=0 da cui Y*=0 .

    La(V), eliminata la ‘X’ diviene; Xcubo + ‘p’quadroX – ‘p’quadro’q’ = 0 cioè la (II) .

    mat4

    La (III) e la (IV) sono due funzioni note – rappresentate nel grafico qui sopra – ; sono rispettivamente una parabola positiva con vertice nell’origine e una circonferenza.

    E’ ora chiaro che nel loro punto di incontro/intersezione vi è la soluzione della (II) e quindi della (I) .

    La (IV) ha un punto passante per l’origine come visto sopra.
    L’espressione generale di una circonferenza è data dalla espressione ;

    ; (X – d)quadro + (Y – e)quadro = ‘r’quadro (VI).

    matc18

    Dove ‘d’ ed ‘e’ sono le coordinate del centro della circonferenza,rispettivamente l’ascissa e l’ordinata . ‘r’ è il raggio .

    Per ottenere da questa espressione generale il caso particolare rappresentato dalla (IV) ,si deve porre C(q/2 ; 0) , cioè le coordinate del centro, queste sostituite nella (VI) generano ;

    d=q/2 e e=0 .

    La (VI) diviene ora ; Xquadro + Yquadro = qX – ‘q’quadro/4 + ‘r’quadro .

    Passando come visto per l’origine (X*=0 eY*=0) ed avendo il valore dell’ordinata del centro sull’asse delle ascisse (e=0) , implica che la circonferenza tange l’asse delle ordinate ed ha quindi il valore dell’ascissa del centro , ‘q’/2 ,coincidente con la lunghezza del raggio ‘r’ ; ‘r’=’q’/2 .
    Questa relazione sostituita nella (VI) genera;

    Xquadro + Yquadro = qX cioè la (IV) .

    matc19

    Riassumendo;

    matc27

    Si può ora rappresentare le due funzioni (III) e (IV) come da grafico del post ;

    La lunghezza del segmento ‘AB’ rappresenta l’ascissa del punto ‘alfa’ punto di incontro tra le due curve. Quindi rappresenta la soluzione della (II) e quindi della (I) con le dovute sostituzioni .

    ll punto ‘alfa’ ha coordinate ; alfa(‘AB’ ; (1/’p’)ABquadro) od anche;

    alfa(AB ; rad.quadr.de(‘q”AB’ – ‘AB’quadro) .

    matc20

    Un CASO PARTICOLARE ;

    è dato dalla relazione ; AB=’q’/2=’r’=X’,la soluzione .

    matc21

    In questo caso il valore corrispondente dell’ordinata(Y’) è massimo e coincide anch’esso come( X’ ) con il valore del raggio ‘r’ cioè ‘q’/2 .
    [ Il valore massimo possibile di ( X’ ) è di questo che tende a ‘q’ e quindi (Y’) tende a zero] .

    A riprova; se AB=’q’/2 ne segue , X’=’q’/2 che sostituito nella (II) genera;

    ; ‘q’cubo/8 + (‘p’quadro)(‘q’/2) = (‘p’quadro)(‘q’) ,che semplificata dà ( prendendo le radici positive) ;

    p=q/2, (VII).

    matc22

    Questa è la relazione che identifica tutti i casi particolari aventi la soluzione coincidente con la lunghezza del raggio; (‘r’=X’=’q’/2)

    Un esempio di questo CASO PARTICOLARE è dato da ;

    ; Xcubo + X = 2 , questa viene ‘scissa’ nelle due funzioni;

    Y = Xquadro e Xquadro + Yquadro = 2X .

    Qui q=2, p=1 la (VII) è rispettata; 1=2/2 .

    La soluzione è ; X’=’q’/2=1=p

    matc23

    [ Si ricalcoli questa soluzione con le equazioni generiche (VIII) e
    (VIII*) qui sotto alla ‘ nota* ‘ ].

    Come si vede il procedimento risolutivo che KHAYYAM suggerì è solo UN METODO CHE ‘ABBOZZA’ UNA SOLUZIONE; poichè il valore dell ‘ascissa del punto ‘alfa’, la SOLUZIONE, resta solo stimabile graficamente ,[vedi nota *] .

    Certo va sottolineata l’abilità nel gioco algebrico di trasformazione, sopratutto in relazione con i tempi in cui ciò venne svolto; gli albori di questa scienza .
    Inoltre, cosa di assai rilievo, è da NOTARE l’intuizione felice nel vedere tale equazione come la risultante di due funzioni e quindi di due figure geometriche, rappresentabili su assi coordinati .

    Nota*;

    Se l’ascissa del punto ‘alfa’ coincide con quella del centro ne segue come visto ;

    X’ = ‘r’ = q/2 = p .
    Basta difatti sostituire X’=q/2 nella (IV) e si ricava Y’=q/2 e sostituiti ( X’ ) e ( Y’ ) nella (III) si ricava la relazione 2p=q .

    Posto 2p=q nella (II) si ottiene ;

    ; Xcubo + ‘p’quadroX = 2’p’cubo , (VIII) .

    matc24

    Questa equazione
    individua tutte le equazioni ridotte in cui essendo rispettata la relazione
    X’=’r’=q/2=p ,vi è la soluzione in X’=p .

    Ad esempio; data Xcubo + 1/4X = 1/4 , si vede che appartiene alla (VIII)

    matc25

    verificando ;

    b=1/4 , a=1/4 , b=1/4=’p’quadro ne segue p=1/2 . a=1/4=2’p’cubo=2(1/2)cubo=2(1/8)=1/4

    Le relazioni tra ‘a’ e ‘b’ espresse in ‘p’ nella (VIII) sono così verificate, ne segue che la soluzione è pari a p=1/2 .

    Infine la (VIII) la posso riscrivere – con semplice procedimento logico – come ;

    ‘p’quadro = b , 2’p’cubo=a= 2(‘p’quadro)p=2’b'(rad.quadr.de’b’) , . Quindi;

    ; Xcubo +bX = 2’b'(rad.quadr.de’b’) , (VIII*) dove la soluzione è , X’=rad.quadr.de’b’ .

    matc26

    Questo però E’ SOLO UN CASO PARTICOLARE in cui si giunge ad una SOLUZIONE ‘ ALGORITMICA ‘ PRECISA con questo metodo algebrico/geometrico ,previa verifica come vista nell’esempio della relazione tra ‘b’ ed ‘a’ come da equazione espressa .

    Saluti, topo.gigio .

  10. Compendio ‘problema cubi’ ; gli ALGORITMI di un’ EQUAZIONE di TERZO GRADO .

    Prima parte.

    Premessa ;
    come accennato in calce nel post del 26/maggio/2011 , dopo aver trattato la risoluzione geometrica delle equazioni di secondo grado e dopo avere indicato un primo percorso ( ‘traccia ‘) per la risoluzione delle equazioni di terzo grado da parte del matematico Omar al Khayyam ,
    si affronta con i post qui di seguito la risoluzione geometrica delle equazioni (ridotte )di terzo grado .

    matematico tra le stelle dei numeri primi

    Nota;
    il matematico assorto ritratto in questo post è il polacco Stanislaw Marcin ULAM . Sul Suo contributo circa i ‘numeri primi’ e la loro disposizione nello spazio, si vedrà in post successivi .
    Vissuto nel secolo precedente è stato un matematico sopratutto applicato.Fu infatti membro del noto Laboratorio di Los Alamos dove collaborò alla costruzione della bomba H americana.
    Egli studiò presso il Politecnico della città di Lvov allora città polacca oggi ucrainiana.Grazie alla frequentazione di un notorio Caffè – lo SCOTTISH CAFE’ – di questa città ebbe modo di conoscere molti eminenti matematici e di avvicinarsi così a questa disciplina pura(scostandosi così dagli studi di ingegneria) .
    Fu tra i primi a sostenere l’uso costante dei calcolatori nella ricerca scientifica.
    Notevole poi il Suo contributo nella teoria alla base della costruzione dei motori spaziali a propulsione atomica .
    Fu collaboratore di E. FERMI e di J. Von NEUMANN ;con quest’ultimo discusse l’uso dei calcolatori per la risoluzione di problemi matematici puri.

    A differenza di EULERO fu un gran conversatore ( non un chiacchierone ! ) ; in una Sua Opera : ‘‘ ADVENTURES of a MATHEMATICIAN ‘,( Avventure di un Matematico) ebbe a scrivere:

    ” …La cosa più bella che possiamo sperimentare è il mistero ” .

    Quest’Opera oltre a raccogliere molti dati personali sulla Sua vita mette in luce le capacità di ULAM di cogliere gli sviluppi futuri del tempo in cui visse,anticipando molte scoperte .

    un café tutto speciale ovvero tra i numeri

    Lo :’ Scottish cafè, nella città ucrainiana di Lvov, un tempo città polacca .

    Il TEMA di questo post .

    In un post qui sopra titolato : ‘‘ Un salto nel passato,alias la nascita dei numeri complessi…’‘ , si è visto – proprio con il modello ( equazione ) matematico/a originale -, come la Teoria dei numeri complessi od immaginari abbia avuto origine dalle ricerche degli Algebristi Italiani del Cinquecento( R. Bombelli, fu l’ideatore/scopritore dei numeri immaginari e degli assi…),intorno alla risoluzione delle equazioni cubiche cioè di terzo grado .
    Questa affermazione potrà stupire chi nota che già le equazioni di secondo grado,delle quali già i Greci conoscevano l’algoritmo risolutivo, , possono condurre a formule comprendenti radici quadrate di numeri negativi .
    Tali formule hanno senso solamente con l’introduzione dell’immaginario .Tuttavia le equazioni di secondo grado con discriminante negativo erano l’espressione di realtà geometriche di cui non aveva senso la risoluzione per il loro stesso valore negativo(si pensi ad un quadrato con lato ‘ -1 ‘ ,per fare un esempio) .
    Invece le equazioni cubiche offrirono il primo esempio di problemi aventi un significato nella loro soluzione,soluzione che si presentò come espressione mediante radici quadrate di numeri negativi ma che poi si elidevano dando come soluzione un numero reale.(Si è visto questo nel post sopra: ‘ Un salto nel passato…’ ) .
    Si è notato infine che le soluzioni geometriche delle equazioni di terzo grado sono visibilmente l’applicazione/sviluppo delle soluzioni geometriche -viste qui sopra- delle equazioni di secondo grado .
    [ Nel procedimento risolutivo geometrico di una equazione di secondo grado si presero in considerazione figure geometriche piane (quadrati e rettangoli), in quello di equazioni di terzo grado si considerarono figure geometriche solide ( cubi e parallelepipedi ) ] .

    Presa un’equazione cubica priva del termine al secondo grado – cioè ‘ridotta’ – ,
    ( cioè priva de, ‘bXquadro’ , elisione SEMPRE possibile con il semplice cambio di variabile; [ X = ( alfa – b/3a ) ], il che comporta che per QUALSIASI equazione di terzo grado completa o meno l’algoritmo risolutivo è potenzialmente valido ),

    matc29

    questa veniva suddivisa in tre distinti casi qui di seguito elencati :

    caso a); Xcubo + pX = q ,

    caso b); Xcubo = pX + q ,

    caso c); Xcubo + q = pX . (**)

    matc28

    ‘p’ e ‘q’ rappresentano valori letterali di cui si presume il valore e che sono da intendere di valore esclusivamente positivo poichè sono anche valori geometrici cioè, come si vedrà di seguito, sono anche espressione / misura di lati (od area) di figure geometriche che non possono che essere di valore positivo .
    L’incognita ‘X’ è il valore da ricercare , ma nel contempo come ‘p’ e ‘q’ è anch’essa un valore geometrico cioè misura di un lato di un solido, e pertanto anch’essa è da intendersi solo come valore positivo.
    Questo comporta che la ricerca qui svolta dell’algoritmo risolutivo, si limita necessariamente a valori positivi di ‘X’ cioè solo alla/e radice/i positiva/e.

    Infine si noti l’equazione ;

    Xcubo + pX + q = 0 , (d),

    matc30

    non può essere qui presa in considerazione(geometricamente),poichè essendo ‘p’ , ‘q’ ed ‘X’ valori positivi non potrà mai esservi alcuna soluzione reale della (d) che dia il valore ‘zero’ come risultato della somma di tre monomi positivi.

    [ Tuttavia la (d) fu risolta dagli algebristi rinascimentali sopra citati ”superando” la valutazione geometrica dell’equazione stessa(valutazione come ora detto impossibile da farsi); cioè si incominciò a pensare in termini moderni assolutamente astratti .Questo procedimento risolutivo lo si vedrà successivamente ] .

    Vedi risoluzione del caso/equazione ‘d’ nella nota in calce del post qui sotto del 25/giugno/2011

    (**)
    I tre casi/le tre equazioni; ‘a’ , ‘b’ , e ‘c’ sono stati/e scritti/e con un termine (monomio) o due a destra dell’uguaglianza per impostare il metodo risolutivo di tipo geometrico con dei solidi .

    (continua…)

  11. (…segue)

    Compendio ‘problema cubi’ ;gli ALGORITMI di un’EQUAZIONE di TERZO GRADO.

    Seconda parte .

    L’equazione a) ; Xcubo + pX = q , ( X,p,q, > 0 ) .

    matc31

    Come accennato nel post che precede,la soluzione passa attraverso un’argomentazione di tipo algebrica/geometrica .

    Il primo termine , ‘Xcubo’, lo intendo come il volume di un cubo di lato ‘X’ .

    Il secondo, ‘pX’ , lo vedo come il volume di un parallelepipedo avente un lato pari ad ‘X’ (denominiamo questo valore l’altezza, pari a quella del cubo di lato ‘X’ ) e poi avente per base l’area pari al valore ‘p’ . Cioe’ ‘p’ è il prodotto degli altri due lati del parallelepipedo ‘pX’ .

    Infine il terzo termine, ‘q’ , lo intendo come il volume generato dalla somma del volume del cubo ‘ Xcubo’ più il volume del parallelepipedo ‘pX’ .

    matc32

    Si noti che del parallelepipedo le misure dei due lati della base non sono state ancora determinate; è solo indispensabile che il loro prodotto sia pari a ‘p’ .
    Prima di dare le dimensioni dei due lati della base del parallelepipedo – dimensioni particolari che permettono la risoluzione del problema – ,poniamo questa semplice relazione/considerazione ;

    posto ; ‘u’ il lato di un cubo e posta la relazione; u = v + x (#), cioè il lato ‘u’ è visto come

    somma di due segmenti di misura ‘v’ ed ‘x’ , si ha che il volume di lato ‘u’ è pari a;

    ‘u’cubo = (v + x)cubo = ‘v’cubo + 3’v’quadroX + 3Xquadro’v’ + Xcubo . (*)

    matc34

    Si vede che il cubo di lato ‘u’ ,contiene il cubo di lato ‘x’ . Dunque attribuendo ai due lati del parallelepipedo idoneo valore, lo si può far rientrare nelle ‘misure’ del cubo di lato ‘u’ .

    Ad occhio,dopo aver visto gli addendi che compongono ‘u’cubo , se pongo i due lati del parallelepipedo di misura;
    ‘u’ e 3’v’ ,ottengo ;
    p = 3’v”u’ da cui il volume del parallelepipedo ;
    px = 3’v”u”x’ ,essendo ‘u’=’v’+’x’ .

    Si ha infine ;
    px = 3’v’quadrox + 3xquadro’v’ .

    matc35

    Questo volume coincide con parte del volume

    del cubo di lato ‘u’ (*) .
    Ecco che posso scrivere;

    volume del cubo di lato ‘u’ = volume del cubo di lato ‘x’ + volume parall.’px’ + volume cubo di lato ‘v’ .

    matc36

    Da questo deriva;
    volume del cubo di lato ‘u’ meno ‘v’cubo = Xcubo + pX = q ,

    in sintesi ;

    ‘u’cubo – ‘v’cubo = q .

    matc37

    Riassumendo;

    matc33

    Si può impostare il sistema con le equazioni ;

    (I) , ‘u’cubo – ‘v’cubo = q e,

    (II) p = 3’u”v’ .

    Se ne ricava un’equazione riducibile al secondo grado;

    [ (‘u’cubo) ]quadrato – q(‘u’cubo) – pcubo/27 = 0 (III) ,

    basta porre ‘u’cubo=t . ( Secondo metodo risolutivo , vedi [°°] )

    [Si può in alternativa trasformare la (III) in un quadrato perfetto aggiungendo ad entrambi i membri il valore ,

    , ‘q’quadro/4 , (primo metodo risolutivo)

    da cui ;

    ; (‘u’cubo – q/2)quadrato = pcubo/27 + ‘q’quadro/4 , da cui posto tutto sotto radice quadrata; ‘u’cubo = q/2 + rad.quadr.de(‘q’quadro/4 + pcubo/27) vedi nota (*/*)].

    Primo metodo risolutivo;

    matc38

    (*/*) Estraendo ‘u’cubo ,ponendo entrambe le eguaglianze sotto radice quadrata, devo necessariamente prendere solo la radice positiva . Prendendo quella negativa otterrei valori di ‘p’ minori di zero affinchè ‘u’cubo sia un valore positivo .Ciò non è accettabile trattandosi di valori di solidi e quindi necessariamente positivi .

    Ricavato ‘v’ dalla (II) , e dopo aver razionalizzato il valore trovato di ‘v’, si ha infine dalla relazione sopra posta

    (#) ; X = u – v ,

    l’ALGORITMO risolvente l’equazione a),

    a) : Xcubo + pX = q ,

    che è;

    X = rad.cubica de[ q/2 + rad.quadr.de(‘q’quadro/4 + ‘p’cubo/27)] + rad.cubica de[q/2 – rad.quadr.de(‘q’quadro/4 + ‘p’cubo/27)] .

    matc39

    [ Si ricordi che il valore de ‘p’ è quello a sinistra dell’uguaglianza e quello di ‘q’ è quello a destra .
    Per cui, ad es. ; x’cubo’ + 4x – 16 = 0 , va riscritta come ;

    ; x’cubo’ +4x = 16 ; p=4 e q=16 ].

    [°°]

    Secondo metodo risolutivo;

    matc41

    NOTA sul GRAFICO ;

    Il cubo di lato ‘u’ contiene il cubo di lato’X’ , ed il parallelepipedo ‘pX’ che è scomposto in tre parti eguali ,ognuna delle quali ha misura ; ‘u’ , ‘v’ ed ‘x’ .
    Queste tre parti ‘addossate’ al cubo di lato ‘x’ come da foto, ed aggiunto il cubo di lato ‘v’ formano il cubo di lato ‘u’ .

    L’equazione a) risolta ;

    Xcubo + pX = q ,

    matc40

    è ora facilmente leggibile -come sopra accennato nel procedimento di calcolo dell’algoritmo-, come ;

    il cubo di lato ‘x’ + [ i tre parallelelepipedi uguali di lati; ‘u’,‘v’ e‘x’( cioè ‘px’)] è uguale al valore ‘q’ cioè al cubo di lato ‘u’ meno il cubo di lato ‘v’ .

    Per facilitare il calcolo delle radici – che sono in alcuni casi naturali ma che attraverso l’algoritmo di cui sopra appaiono sotto forma di valori irrazionali – si può,

    calcolare il tutto con rappresentazione per immagine

    del calcolo svolto, attraverso questo link ;

    http://web2.0calc.com/

    [ continua col caso/equazione, b)]

    _____________________________________

    Nota;

    matc42

    Nella nota qui sopra è stato fatto riferimento

    alla risoluzione di una equazione di secondo grado mediante elisione dell’incognita al primo grado (bx) ;

    per vedere tale procedimento vedi direttamente al seguente link ;

    https://soloalsecondogrado.wordpress.com/presentazione-matematica-logica-le-soluzioni/#comment-87

    che rinvia al post del 20/maggio/2011 nella pagina :’Presentazione / MATEMATICA & LOGICA le SOLUZIONI.’

    post denominato:’
    :’ ALGORITMO RISOLUTIVO’ ”NON CLASSICO” (ALGEBRICO) DI UNA EQUAZIONE GENERICA COMPLETA DI SECONDO GRADO ‘.

  12. (…segue)

    Compendio ‘problema cubi’ ; gli ALGORITMI di un’ EQUAZIONE di TERZO GRADO .

    Terza parte .

    Si discute ora il caso b) ;

    Xcubo = pX + q , (I), (X,p,q, > 0) .

    Questo caso si imposta come; ‘q’; un volume pari alla differenza tra un cubo di lato‘X’ ed un parallelepipedo di area ‘p’ e lato ‘X’ .
    Questo implica che il cubo di lato ‘X’ – a differenza del caso precedente – deve essere il solido di dimensioni maggiori dal quale ‘togliere via/sottrarre’ il volume del parallelepipedo ‘pX’ .

    Se ‘X’ è il lato del cubo, pongo la relazione;

    ( Continua, con il caso ‘c’ )
    X = u + v , dove ‘u’ e ‘v’ sono segmenti/parti di ‘X’ .

    Da ciò ricavo il volume del cubo ‘X’ cubo ;

    ‘Xcubo’=(u+v)cubo=’u’cubo+3’u’quadro’v’+3’v’quadro’u’+’v’cubo (II).

    Con lo stesso procedimento del caso precedentemente discusso, pongo come lati dell’area ‘p’ del parallelepipedo ‘pX’ le misure; ‘u’ e 3’v’ ,[‘p’=’u”3v’ , (IV) ] così facendo il volume del parallelepipedo ‘pX’ è ricompreso nel cubo di lato ‘X’ .

    Il volume del parallelepipedo è pari a;

    ‘pX’ = X’u”3v’ , essendo;

    ; X=u+v ,

    ; pX= (u+v)3’v”u’= 3’u’quadro’v’ + 3’v’quadro’u’ (III). [Come accennato la(III) è parte della(II)] .

    La differenza tra il volume del cubo di lato ‘X’ ed il parallelepipedo ‘pX’ ,per la (I), è pari al volume ‘q’ .

    La differenza; Xcubo – pX = q, posso riscriverla come la differenza tra la(II) e la (III), cioè ;

    ; ‘u’cubo+3’u’quadro’v’+3’v’quadro’u’+’v’cubo – (3’u’quadro’v’ +3’v’quadro’u’) = q ,

    semplificando ; ‘u’cubo + ‘v’cubo = q , (V).

    Si può ora impostare il sistema ; tra la (IV) e la (V) ;

    ‘u’cubo + ‘v’cubo = q , e p = 3’u”v’ .

    Anche con questo sistema – come con quello del caso precedente’a’ – si ottiene una equazione ;

    (‘u’cubo)quadro – q(‘u’cubo) + ‘p’cubo/27 = 0 ,

    , riducibile al secondo grado (basta porre ‘u’cubo = t ) .

    Ricavati dal sistema i valori di ‘u’ e poi di ‘v’ e sostituiti nella relazione posta sopra; X=u+v si ottiene

    L’ ALGORITMO RISOLVENTE il caso b);

    ; Xcubo = pX + q , che è;

    X = rad.cubica de[ q/2 + rad.quadr.de(‘q’quadro/4 – ‘p’cubo/27) ] +rad.cubica de[ q/2 – rad.quadr.de(‘q’quadro/4 – ‘p’cubo/27) ] .

    Dalla figura /foto del post si vede che; il volume ‘q’ è dato dalla differenza tra il cubo grande di lato ‘X’ e il parallelepipedo ‘pX’ ; dunque ‘q’ è la somma dei volumi dei due cubi ‘u’ e ‘v’ .

    ( continua…, con il caso/equazione ‘c’ )

  13. (…segue)

    Compendio ‘problema cubi’ ; gli ALGORITMI di un’ EQUAZIONE di TERZO GRADO .

    Quarta parte .

    Si discute ora il caso/equazione c) ;

    ; Xcubo + q = pX (I), (X,p,q > 0) .

    Questo caso è geometricamente ‘anomalo’ ;
    ;qui gli algebristi del Cinquecento furono costretti a risolverlo algebricamente e non geometricamente.
    Si avvalsero tuttavia del caso precedentemente visto( caso/equazione’b’ ) giungendo a soluzione geometrica ma indirettamente .

    Si conosce L ‘ ALGORITMO risolutivo del caso/equazione b)

    ; [ Xcubo = pX + q, vedi post precedente] .

    Pongo per comodità il valore di tale algoritmo pari ad ‘alfa’ .
    Questo valore(il valore risolvente) lo sostituisco ad ‘X’ nel caso b) ; per cui ho;

    alfacubo – q = ‘p’alfa (II) , e la (I) Xcubo + q = pX .

    Poste la (I) e la (II) in un comune sistema – sistema con cui ci si chiede per quale valore di ‘X’ la (I) e la (II) hanno soluzioni valide per entrambe le equazioni – e ricavato da entrambe il valore di ‘q’ ed eguagliati, si ottiene ;

    ‘p’alfa – alfacubo = Xcubo – pX , da cui ; p(X + alfa) = Xcubo + alfacubo , ed ancora ;

    p(X + alfa) = (X + alfa)(Xquadro – alfaX + alfaquadro) . Questa si può semplificare ora

    elidendo da entrambi i membri il binomio ‘ (X + alfa) ‘ , per cui ottengo l’espressione ;

    p = Xquadro – alfaX + alfaquadro . Questa la posso risolvere in ‘X’ essendo una semplice equazione di secondo grado.

    Ottengo ; X = alfa/2 +/- rad.quadr.de[p – 3/4(alfaquadro)] , (III)

    DEVO scartare la relazione negativa; alfa/2 – rad.quadr.de… poichè darebbe valori negativi della radice valore negativo che ho scartato ponendo (X,p,q >0) ,difatti (a riprova);

    per la (II) ; alfacubo – ‘p’alfa = q da cui alfa(alfaquadro – p) = q che comporta alfa e

    (alfaquadro -p) [*], maggiori di zero . Se si pone la (III) maggiore di zero si ricava il valore

    risolvente;

    alfaquadro – p > 0 come da [*] .

    Dunque;

    L’ALGORITMO RISOLVENTE il caso c)

    ‘c’ ; Xcubo + q = pX è;

    X = alfa/2 + rad.quadr.de[p – 3/4(alfaquadro) ] , dove alfa è l’algoritmo risolutivo visto del caso b) ,nel post che precede .

    Nota;
    IL GRAFICO ‘in se’,riprodotto nella fotografia di questo post NON permette di determinare la soluzione come invece nei due grafici dei due post che precedono.
    Tuttavia permette di avere un’idea di come può essere vista l’equazione (I) qui risolta;

    Da figura;
    il cubo di lato ‘X’ con l’aggiunta del parallelepipedo di volume ‘q’,avente due lati eguali di lunghezza ‘X’ ,ed un lato di lunghezza ‘v’ ,generano un parallelepipedo ‘pX’ anche questo con due lati eguali pari ad ‘X’ , e un lato di lunghezza ‘u’ .
    Se si affronta in modo puramente geometrico come ora impostato si noterà che si ottiene

    l’espressione; ‘u’cubo – ‘v’cubo + q – (u – v)(3uv + p) = 0, [X=u-v] .

    Questa equazione risolvente-
    che in effetti da soluzione,ma per valori negativi –
    trova soluzione per ;

    3uv + p = 0

    e contemporaneamente;

    ‘u’cubo – ‘v’cubo = -q

    cioè per valori negativi del volume ‘q’ ,

    ecco del perchè di soluzioni negative.( Valide algebricamente )

    Nel suo iter algebrico, per questi valori negativi espressi,è identica alla soluzione accennata nel post qui sopra (Prima parte,’compendio problema cubi…’, del 16/giugno/2011 ), per il caso/equazione d);

    caso/equazione,’d’

    ‘d’ ; Xcubo + pX + q = 0 .

    Il cui ALGORITMO RISOLUTIVO [della d) ], posto ; X = u – v

    ,e sostituito nella d) stessa e dopo aver avuto l’accortezza di evidenziare il valore ‘ 3uv’ in modo da ottenere l’evidenza de ‘ (u -v) ‘ è;

    X = rad.cubica de[-q/2+rad.quadr.de(‘q’quadro/4+pcubo/27)] + rad.cub.de[-q/2-rad.quadr.de(‘q’quadro/4+pcubo/27) ] .

    Si tenga presente – come già accennato nel post sopra del 16/giugno/2011 – che in questo caso/equazione ‘d’, essendo impossibile un valore pari a ‘zero’ generato dalla somma di tre valori positivi ( x,p,q ) deve necessariamente questa condizione essere rimossa per un elemento ; implica ‘x<0' .
    Ovvio che rimuovendo la condizione per 'p' o/e 'q'( cioè per valori negativi di questi a sinistra dell'uguaglianza ) si rientra negli altri casi/equazioni analizzati/e ; 'a','b' e 'c' ,( considerandoli come ora detto a sinistra dell'uguaglianza, per poi spostarli a destra di questa per poter impostare le risoluzioni geometriche viste ) .

    (continua…)

  14. (…segue)

    Compendio ‘problema cubi’ ; gli ALGORITMI di un’ EQUAZIONE di TERZO GRADO .

    Quinta parte .

    Nota;

    Nel centro Asia, cioè nell’Asia Media nacque sulla fine dell’VIII sec. – precisamente nella città oggi denominata ‘Khiva’, città attualmente dello Stato dell’ Uzbekistan – M. Ibn MUSA Al – Khwarizmi , che operò principalmente a Bagdad .
    Il Suo merito fu quello di aver fatto da ponte tra Estremo Oriente ed Occidente, traghettando per primo il sistema di numerazione posizionale decimale con tanto di zero, IDEATO/SCOPERTO nel mondo INDIANO. Sistema che poi FIBONACCI diffonderà con la denominazione corretta di ‘sistema di numerazione indiano’ che poi cambierà denominazione in ‘arabo’ ,con palese imprecisa denominazione .

    [ Il pisano FIBONACCI nella Sua Opera più famosa : il ‘Liber abaci’ – nel primo capitolo – parlerà della conoscenza delle ‘nove cifre indiane’ e del metodo (leggi algoritmo) con cui con queste si possono scrivere (mediante un sistema posizionale,con base decimale) tutti i numeri.Mostrando con comparazione con i numeri ‘romani’ la limitatezza della notazione romana.Si noti che ‘lo zero’ pur facente parte di questo sistema indiano di scrittura è per così dire escluso dal novero delle cifre che sono per Lui nove più una e non dieci ].

    E’ dal nome complicato di questo matematico arabo che deriva – dopo storpiatura latina in ;’ al – gorismus ‘ – il termine ‘ ALGORITMO ‘ .

    Il termine ‘ ALGORITMO ‘ .

    In origine questo termine indicava solo il sistema sopra accennato, posizionale-decimale da questo Autore diffuso in Oriente come FIBONACCI lo diffonderà secoli dopo in Occidente .
    Poi,grazie al contributo dato da questo matematico orientale alla risoluzione geometrica delle equazioni di secondo grado secondo un procedimento ‘costante’ [si veda i due post soprastanti del 27/maggio/2011,denominati:’ LA CONFIGURAZIONE/RISOLUZIONE GEOMETRICA di un’EQUAZIONE di SECONDO GRADO ‘], tale termine diventerà sinonimo di sistema di calcolo, cioè di formula risolutiva come oggi Noi lo intendiamo .
    Nella fotografia del post è riprodotto un monumento commemorativo in Suo onore .

    Il TEMA di questo post .

    Nell’ algoritmo risolutivo del caso/equazione visto ‘a’, vi è la presenza di un radicale doppio contenente una radice quadrata ;
    ; rad.quadr.de( ‘q’quadro/4 + ‘p’cubo/27 ) .

    Essendo posti ‘p’ e ‘q’ > 0 , tale radice è sempre positiva così da non esigere il passaggio dal Campo Reale a quello Immaginario .
    Ma nell’algoritmo del caso/equazione ‘b’ ,e quindi ‘c’,la radice quadruadata è de;

    ;rad.quadr.de, ( ‘q’quadro/4 – ‘p’cubo/27 ) [*]

    per cui possono esserci casi in cui il discriminante è negativo .

    I matematici di allora chiamarono questi casi con delta negativo : ”IRRIDUCIBILI” ,casi che obbligarono – con successo – all’ideazione dei numeri complessi da parte, come sotto esposto, di un Nostro matematico, R. Bombelli .

    ECCO PRINCIPALMENTE IL TEMA di questo post; la discussione – con visibile riflesso geometrico sulle proporzioni dei cubi in questione – del caso in cui il delta è pari a zero e poi quando questo è minore di zero .

    Per chiarezza si deve sempre tenere presente le costruzioni geometriche rappresentate nei grafici precedenti .

    Nel caso/equazione ‘b’ ; Xcubo = pX + q ,

    si hanno le dimensioni del solido/parallelepipedo pari a ; pX=3’u”v’X e la relazione ; X = u + v .
    Ne è seguito il valore di ‘q’ pari a ; q = ‘u’cubo + ‘v’cubo

    Ora intuitivamente ci si deve concentrare sulla misura dei due cubi (quello medio e quello piccolo) che insieme al parallelepipedo vanno insieme a formare il cubo grande.
    Se il lato del cubo ‘v’ tende a zero ne segue che il lato del cubo ‘u’ tende al valore ‘X’ (essendo X=u+v).
    Stessa cosa nel caso rovesciato,cioè se il lato del cubo ‘u’ tende a zero.
    Questo comporta ( se ‘v’ tende a zero) che X=u e quindi
    q=’u’cubo=Xcubo .

    Prendiamo questa relazione al fine di procedere per intuizione;
    v=1/2u , ne segue X=3/2u e poi q=9/8ucubo=1/3Xcubo .

    Ora prendiamo il caso ; u=v , ne segue ; X=2u ,essendo; q=2(‘u’cubo)=1/4Xcubo .

    Si nota subito ‘ad occhio'(senza ancora dimostrazione) che nel caso in cui i due cubi (‘u’cubo e ‘v’cubo) si eguagliano ecco che il loro volume è il minimo rispetto al cubo grande che forma il solido completo (Xcubo) .Difatti; con u=v si ha;

    ‘q’=1/4Xcubo<1/3Xcubo<Xcubo .

    Ma in questo caso ; u=v si ha che il delta
    [‘q’=1/4Xcubo=2’u’cubo, e ‘p’=3uv=3’u’quadro] –

    di cui sopra vedi[*] è;

    ; ‘q’quadro/4 – ‘p’cubo/27 = 4(‘u’cubo)quadro/4 – 27(‘u’quadro)cubo/27 = 0 .

    Ecco dunque il caso limite; con i due cubi, ‘u’ e ‘v’ uguali si ha che

    il loro volume complessivo è minimo rispetto a tuti gli altri casi
    e in questo caso il delta è pari a zero .

    MA ECCO anche visivamente che si intuisce che la così detta scomposizione/rappresentazione tartelliana non è più possibile per volume complessivo dei due cubi ‘u’ e ‘v’ inferiore a quello in cui u=v .

    (continua…)

  15. (…segue)

    Compendio ‘problema cubi’ ; gli ALGORITMI di un’ EQUAZIONE di TERZO GRADO .

    Sesta parte .

    Riscrivo come da post precedente e come da didascalia del grafico riprodotto nella fotografia di questo post ;

    Se il discriminante(delta) della radice quadrata visto ; ‘q’quadro/4 – ‘p’cubo/27 (= 0) è pari a zero, questo comporta che che ‘u’ = ‘v’ , cioè i due cubi(‘u’cubo e ‘v’cubo) che entrano a comporre il cubo grande ‘X’cubo insieme al parallelelepipedo ‘pX’ , sono eguali e questo comporta inoltre come visto che il loro volume è minimo rispetto a qualsiasi altro caso.
    Tale volume è rappresentato dal valore ‘q’ ;
    ‘q’= ‘u’cubo + ‘v’cubo .

    Delta=0 ne segue; u=v ,da cui; q = 1/4Xcubo e, 1/3pX = 1/4Xcubo cioè pX = 3/4Xcubo ,e

    q=1/3pX .

    Si noti che ‘q’ cioè i due cubi ‘u’cubo e ‘v’cubo sono pari ad 1/3 di ‘pX’ dunque ad uno dei tre solidi eguali che concorrono a formare il cubo grande ‘X’cubo .
    Questo lo si nota bene raffrontando la figura 1 con la figura 2 del grafico/cubi qui sopra ;mentre in tutti i casi in cui ‘u’diverso da’v’ è possibile costruire il cubo di lato ‘X’ SOLO come da figura 1(sempre che ricorra la condizione; q>1/4Xcubo o – che è lo stesso – pX/3<1/4Xcubo , ) cioè accostando le tre parti di ‘pX’ ad ‘u’ cubo di partenza ( ‘u’ o ‘v’ a scelta) ,invece nel caso in cui u=v si può costruire il cubo di lato ‘X’ ANCHE come da figura 2 ; cioè ponendo ‘in piedi’ i tre elementi eguali che formano il parallelelepipedo ‘pX’ (che in questo caso hanno base quadrata) e poi sovrapponendo i due cubi eguali di lato ‘u’ e ‘v’ così da formare un elemento identico ad uno dei tre che formano il parallelelepipedo pX .

    La DIMOSTRAZIONE .

    LA DIMOSTRAZIONE di questa relazione/caso particolare appare agevole con gli attuali strumenti matematici, nel caso il calcolo infinitesimale e più precisamente l’utilizzo della derivata prima.
    Tuttavia questo strumento non era allora – ricordo che siamo nel Cinquecento – disponibile .
    Malgrado questo la dimostrazione vi fu grazie all’applicazione del tutto originale dell’Opera di un matematico greco.
    Si tratta della quinta proprietà del secondo libro di EUCLIDE .
    L’originalità sta nel fatto che tale regola fu applicata alla terza dimensione e non a figura piana .


    [ Nota ;
    il presente grafico riassume anche altre caratteristiche algebriche/geometriche che saranno riprese successivamente quando si tratterà della serie di Fibonacci quindi del rapporto/sezione aureo/a alias ;‘ de divina proportione ‘di Luca Pacioli
    .Pertanto questo grafico sarà riproposto in merito all’argomento ora solo accennato.
    Qui lo si consideri principalmente per quanto qui detto circa ‘ la dimostrazione ‘ del valore minimo dei cubi di lato ‘u’ e ‘v’ allorchè , ‘u’=’v’,quindi per le figure ‘1’ e ‘2’ .]

    Per Euclide;
    dato un segmento ‘AB’ con punto medio in ‘C’ e detto ‘D’ un altro punto qualunque del segmento , si ha la relazione ;

    ( ‘AD’ per ‘DB’ ) + ‘CD’quadro = ‘AC’quadro .

    Algebricamente la faccenda appare poco intuitiva ma come da figura allegata la faccenda si semplifica ;

    dato un quadrato di lato ‘AC’ si prosegua un lato col segmento ‘CD’ e lo si completi così da formare un’area attigua al quadrato. Si tracci una retta parallela al lato ‘AC’ interna al quadrato ma che prosegue fino ad intersecare l’area aggiunta nel punto ‘B’ del lato verticale dell’area aggiunta .

    Per semplificare ulteriormente il concetto ora esposto ;- che risolve il nostro problema dimostrando quanto richiesto – ;
    si tenga presente un segmento (poniamo per semplicità di lunghezza ’10’ ), si nota che preso un qualsiasi punto intermedio su questo segmento comporta allorchè vi si costruiscono i due quadrati dai due segmenti così intercettati che questi hanno l’area minima quando sono eguali.

    Un esempio;
    ;il caso estremo è ; un segmento pari a ’10’ l’altro pari a ‘0’(zero) ne segue che il quadrato così individuato è pari a 100 + 0 = 100 . Se un segmento è pari a ‘4’ e l’altro di conseguenza è pari a ‘6’,ne segue che il quadrato complessivo è pari a ’52’ .
    Ora se i due segmenti sono eguali ecco che l’area complessiva è pari ’50’ ; l’area minima possibile .

    E’ questo concetto, applicato al lato del cubo ‘X’ , (X=u+v) , che comporta la soluzione di u=v .
    [Si guardi il segmento ‘X’ e si applichi quanto ora espresso con l’esempio, con i due segmenti che variano ‘u’ e ‘v’ ; se quanto nell’esempio è vero nelle due dimensioni lo è di conseguenza nelle tre dimensioni; i cubi ‘u’cubo e ‘v’cubo ( Difatti la terza dimensione è data dalla moltiplicazione per uno stesso valore dei due valori distinti nella seconda dimensione.
    Quindi i parametri tra questi due valori rimangono immutati)]

    La discussione aveva ora la sua dimostrazione.

    A titolo dimostrativo, con gli strumenti successivamente ideati [grazie a Newton e Leibniz nel XVIIIsec.], la faccenda è ripercorsa col SISTEMA della DERIVATA;

    X=u+v , q=’u’cubo + ‘v’cubo , sostituendo ; q = ‘u’cubo + (X – u)cubo da cui;

    q = Xcubo – 3(Xquadro)’u’ + 3X(‘u’quadro) , consideriamo q=f(u), cioè ‘q’ in funzione di ‘u’ ,

    la derivata prima è pari a ; q’ = 6X’u’ – 3Xquadro , posta questa pari a zero ottengo il valore ;

    ( q’ = 0 ), implica ; u = 1/2X , essendo X = u +v ne segue v = 1/2X ,quindi u=v .

    [ Se avessi darivato ‘q’ in funzione di ‘X’ avrei ottenuto X=u , cioè il massimo di ‘q’ rispetto ad ‘X’ ,e v=0 ,in questo caso limite l’equazione si riduce a ; ” Xcubo = q ”, ‘pX’ essendo pari a ; pX=3’u”v’ è pari a zero ; pX=0 ] .

    Ricordo che il termine ‘ALGEBRA’ sta etimologicamente ad indicare il significato de:

    ‘COMPLETAMENTO’ ,questo lo si capisce bene nel post qui sopra del 27/maggio/2011 in cui si parla della ‘configurazione/risoluzione geometrica di una equazione di secondo grado .’
    Si tratta in effetti di completare/formare un ‘quadrato perfetto’ completando un quadrato centrale con dei rettangoli ai lati.

    NEL CASO DELLE EQUAZIONI DI TERZO GRADO,

    ,si vede bene che il percorso risolutivo è del tutto analogo;

    ; nel senso che si tratta di completare/formare un solido perfetto cioè un cubo partendo da un cubo di partenza a cui accostare un parallel.(che è suddiviso in tre parti eguali) ed un altro cubo .

    Si è visto che questo è sempre possibile a condizione che ‘q’>1/4Xcubo, cioè il volume dei due cubi ‘di completamento’ siano maggiori od eguali ad 1/4 del volume del cubo di lato ‘X'(cubo grande) .
    [Rovesciando se; pX/<3/4Xcubo, cioè il parallelelepipedo deve essere minore o eguale ai tre quarti del cubo di lato ‘X’ ] .
    Se questi valori limiti non sono rispettati il delta è minore di zero (casi così detti ‘irriducibili’) ne segue che non è possibile questa costruzione / soluzione geometrica, e di conseguenza non è possibile una rappresentazione grafica come vista nelle fotografie dei post ;non si avrà mai un solido ( somma del parallelelepipedo più i due cubi di lati ‘u’ e ‘v’ ) perfetto cioè il cubo di lato ‘X’ .

    Lascio a chi legge di trattare/risolvere a titolo di esempio applicativo il caso dell’equazione;

    Xcubo = 3X + 2 , essa rientra nel caso trattato b) ; e rappresenta un caso limite .

  16. La scommessa di PASCAL | il TESTO integrale in sintesi grafica

    ovvero,

    MATEMATICA , LOGICA & TEOLOGIA

    in un’ unica sintesi .

    Riporto in questo commento – data la natura di questa pagina – un articolo del 5/agosto/2011 avente stesso titolo :’La scommessa di PASCAL | il TESTO integrale in sintesi grafica ‘. Vedi al link :

    https://soloalsecondogrado.wordpress.com/2011/08/05/la-scommessa-di-pascal-il-testo-integrale-in-sintesi-grafica/


    ______________Blaise Pascal, alias ‘Biagio Pasquale’ .

    Tabella di sintesi grafica della ‘scommessa di Pascal’ / le ‘ pari de Pascal ‘

    Le notazioni in segni algebrici ,trascritte immediatamente sotto il grafico ,non sono che la logica conseguenza del grafico impostato.
    Sia il grafico che i segni algebrici esprimono sinteticamente il pensiero di Pascal che Egli espresse ‘in parole‘ .

    In realtà, anche se verbalmente, Pascal – si noti bene – è riuscito ,tra i primi matematici in assoluto ,a trasformare espressioni/proposizioni ‘non matematiche’ in algoritmi matematici .
    Successivamente questo lavoro sarà ampiamente affrontato dall’inglese G.BOOLE ,ma nel XIX° secolo .

    Il grafico .

    Lo si legga in senso orizzontale,

    –vi sono due possibili scelte da parte dell’Uomo ; ‘credere’ o ‘non credere’ ne deriva che abbiamo due possibili Figure ; quella del ‘Credente’ e quella dell’ ‘Ateo’ .

    –Vi sono due possibili ipotesi fattibili ; quella della ‘Esistenza di Dio’ e quella della ‘Non Esistenza di Dio’ .

    Ne deriva che si hanno complessivamente quattro casi possibili/quattro possibili situazioni;

    –; I°) ‘Credente’/’Esistenza di Dio’
    ___II°) ‘Credente’/’Non Esistenza di Dio’
    __III°) ‘Ateo’/’Esistenza di Dio’
    ___IV°) ‘Ateo’/’Non Esistenza di Dio’

    Muovendoci orizzontalmente sul grafico e partendo dalla prima Figura – quella del ‘Credente’ – si vede subito che si ha – in base alle due ipotesi suddette -, un possibile ‘Vantaggio’ (V) e un valore nullo (zero) .
    Dalla loro somma ne deriva per il ‘Credente’ un ‘Vantaggio’ (V) complessivo.

    Muovendoci sempre orizzontalmente ma partendo dalla seconda Figura – quella dell’ ‘Ateo’– , si vede che si ha – sempre in base alle due ipotesi -, un possibile ‘Svantaggio’ e un valore anche qui nullo (zero) .
    Dalla loro somma ne deriva per ‘l’Ateo’ uno ‘Svantaggio’ (SV)complessivo .

    Il ‘Vantaggio’ ( che si sarebbe utilmente potuto segnare direttamente con il termine di ‘salvezza’) è rappresentato appunto dalla ‘salvezza’, cioè dalla ‘vita eterna’, assegnata al ‘Credente’ nel caso che la I°ipotesi,cioè l’ ‘Esistenza di Dio’, sia vera .

    Lo ‘SVantaggio’ è rappresentato dalla ‘dannazione’ ,di cui – si badi bene – Pascal non fa mai diretta menzione nella SCOMMESSA , dell’ ‘Ateo’ sempre in concomitanza della veridicità della I°ipotesi .

    Ovvia la conclusione della lettura del grafico ;

    — se si crede – se si è ‘Credenti’ – o ci si guadagna (‘salvezza’)o ci si va pari (zero) .

    — se non si crede – se si è ‘Atei’ – o ci si danna (‘SVantaggio’) o ci si va pari (zero) .

    Di sicuro conviene credere – cioè assumere la scelta/posizione del ‘Credente’ .

    Costruendo una equazione di raffronto tra le caratteristiche delle due Figure (‘Credente’ e ‘Ateo’ ) si ottiene che il ‘pari'(zero) del ‘Credente’ si ‘elide’ col ‘pari’ dell’Ateo,rimanendo un ‘Vantaggio’ (V) del ‘Credente’ contro uno ‘SVantaggio’ (SV) dell’ ‘Ateo’ .

    Algebricamente;

    V(di ‘C’) + 0(zero) > SV(di ‘A’) + 0(zero),

    implica(semplificando) ; V(di ‘C’) > SV(di ‘A’) ,implica

    ______________’C’ > ‘A’ ____________

    [ vedi qui subito sotto il ‘significato’ specifico dei simboli utilizzati nell’equazione ].

    In simboli ;

    i segni ; ‘ > , < , = ‘ stanno ad indicare rispettivamente ;

    ;( > ) ,’una miglior situazione’/cioè un ‘Vantaggio’ ,( di ciò/chi che è a sinistra del segno rispetto a ciò che è alla sua destra )

    ( < ),’una peggior situazione’/cioè uno ‘SVantaggio’ ,( come sopra …)

    ( = ), una situazione di parità .

    La ” ‘E‘ rovesciata ;

    ‘ indica ‘ vi è un elemento/soggetto ‘ .

    La freccia ‘ –> ‘ indica ‘ l’appartenenza di un qualcosa ‘ ad un ‘soggetto’ .

    Chiara ora la lettura in/dei simboli sotto il grafico trascritti e qui subito sotto ‘riletti’ con i ‘segni comuni’ cioè le ‘parole’ :

    La domanda ; [ in segni ‘simboli’ ].

    [ in segni ‘parole’ ;
    è meglio ‘credere’ o ‘non credere’ ?
    ( Ovvero, il ‘Credente’ ha una ‘miglior situazione’ ,’una peggior situazione’ o, ‘una identica situazione’ rispetto all’ ‘Ateo’) ? ]

    La risposta in base al grafico ;

    [ in segni ‘simboli’ ; ] .

    [ in segni ‘parole’ .
    ‘Essendovi un soggetto’
    ‘Credente’ ‘a cui appartiene’ un ‘Vantaggio’ ed ‘essendovi un ‘soggetto’ ‘Ateo’ a cui ‘appartiene uno SVantaggio’ ed essendo ‘V‘migliore’ di ‘Sv‘ ne segue che (implica) che;

    la posizione del ‘Credente’ è migliore di quella dell’ ‘Ateo’ ].

    E’ meglio dunque credere .

    __________________

    Considreazioni/valutazioni sulla ‘SCOMMESSA’ di B. Pascal .

    Negli anni queste riflessioni pascaliane hanno suscitato, più che un reale interesse di carattere accademico, considerazioni di svariata provenienza e natura che vanno da un sorriso mal celato ad una imputazione di cinismo machiavellico operato in sede religiosa .
    Se ci si rifà al TESTO – integralmente trascritto nella terza parte – si nota subito che accuse di tal genere finiscono per avere vita breve, lasciando il posto alle parole dell’Autore di profonda sensibilità da precordi e nel contempo di profondo valore teologico .

    Entrando in merito ;
    –Pascal non accenna mai allo SVantaggio (SV) come spauracchio (di stampo medievale) costituito dalla ‘dannazione’,come mezzo di induzione alla scelta di essere ‘Credente’.

    –Egli sa bene che tale scelta deve essere prima di tutto operata col ‘cuore’ e non con la ‘testa’, poichè – come Egli stesso afferma nei ‘Pensieri’ – ‘ l’Esprit de Finesse ‘ è superiore a ‘ l’Esprit de Géométrie ‘ ; ovvero il ‘Cuore’ può portare l’Uomo ad una Conoscenza ben più alta che non la sua ‘Ragione’ .

    Proprio nella ‘SCOMMESSA’ Egli afferma :’

    [… E’ il cuore che sente Dio ,e non la ragione . Ecco che cos’è la Fede .
    Dio è sensibile al cuore non alla ragione.

    Il cuore ha le sue ragioni che la ragione non conosce; lo si nota in mille cose …]

    — Chiunque deve prima di tutto accettare i limiti della propria esistenza per un Ordine sia personale che collettivo che eviti ogni egocentrismo .Difatti (sempre nella ‘SCOMMESSA’) afferma :’

    :’…Se questo discorso è apprezzabile e solido nelle sue argomentazioni,si deve sapere che è fatto da un Uomo che si è messo in ginocchio ,prima e dopo aver scommesso, per pregare quell’Essere ‘infinito’ e ‘senza parti’ al quale non resta ad ognuno di noi che sottomettersi, …’

    Tralascia ogni considerazione – che potrebbero essere state alla Sua portata, avendo avuto una Mente particolarmente versata alla logica – circa le famose prove ontologiche(dell’ ‘Esistenza di Dio’) : quelle prima si S.Anselmo d’Aosta e poi quella dell’Uomo più dotto del Medio Evo ; S. Tommaso d’Aquino .
    Questo a riprova della Sua non machiavellicità .

    –Si noti poi che ebbe a scrivere i Suoi Pensieri in lingua francese e non in latino .
    Fatto questo di non poco conto se si tiene presente che allora la maggior parte dei testi – scientifici e non – erano scritti in latino .

  17. da articolo/post del 11/luglio 2014 ;

    Numeri primi e dintorni ; appendice ad un vecchio problema della Scuola Normale superiore

    Nota; dopo tante questioni politiche un break matematico originale trattandosi di una appendice ad un problema noto,ma non risolto nella sua continuazione…

    norr 4

    Testo del problema d’ammissione alla Scuola Normale superiore di Pisa dell’anno 1965.

    1965.2
    Dimostrare che ogni numero primo diverso da 2 si può scrivere in un unico modo come differenza di due quadrati interi.

    Risoluzione;
    sia ‘p’ un numero primo se ‘a’ e ‘b’ sono due interi tali che p=‘a’ quadro – ‘b’ quadro, si ha anche

    p=(a-b)(a+b)
    poichè gli unici divisori di di ‘p’ sono ‘p’ e 1 necessariamente risulta;

    a+b=p a-b=1 cioè a=(p+1)/2 b=(p-1)/2 i quali se ‘p’ diverso da 2 sono entrambi interi.

    Risulta dunque per ‘p’ primo diverso da 2

    p=[(p+1)/2]quadro – [(p-1)/2)]quadro .
    E questa è l’unica segnatura possibile di ‘p’ come differenza di quadrati.

    Si osservi che ogni numero dispari 2k+1 si può scrivere come differenza di due quadrati : 2k+1=(k+1)quadro – ‘k’quadro

    In generale

    ,però, se un numero non è primo non si ha unicità di segnatura; ad es.;

    15=4quadro – 1quadro = 8quadro-7quadro ,

    27=6quadro-3quadro = 14quadro-13quadro

    __________________

    Questo il problema che fu dato a suo tempo e relativa soluzione.

    Ora qui si ripercorre lo stesso problema risolvendo la questione sopra genericamente posta con l’avverbio ;

    In generale

    espressione non casualmente evidenziata.

    la qustione / il problema ‘aggiunto’ ( in base all’avverbio sopra detto) è dunque questa;

    in quali casi si ha diversa segnatura ( doppia segnatura ) di un dispari non primo come differenza di quadrati ?

    Ecco come viene individuato;

    ‘p’=numero primo ‘a’,‘b’ numeri interi, per cui ;

    ‘p’ =‘a’quadro – ‘b’quadro. (I)

    Per definizione un numero primo è un numero divisibile solo per l’unità e per se stesso.

    La (I) la posso riscrivere come p=(a – b)(a + b). Questo permette di affermare in base alla definizione che; (a + b)=p (II) e (a – b)=1 (III).

    Questo si nota meglio riscrivendo la (I) ;

    p/(a – b)=(a + b) e p/(a + b)=(a – b) ; il numero più piccolo tra (a – b) e (a + b) è

    (a – b)

    e non può che essere l’unità quindi (a + b) non può che essere ‘p’ stesso .I due soli divisori di un numero primo.

    Impostando in un sistema la (II) e la (III) ne ricavo i valori di ‘a’ e ‘b’ che sono;
    ; a=(p+1)/2 e b=(p-1)/2. Questi valori sostituiti nella (I) danno l’espressione:

    ….; p = [ (p+1)/2 ]quadro – [ (p-1)/2 ]quadro , ( III**)

    espressione che per valori di ‘p’ – numero primo – diverso da – 2 – permette la scrittura di ‘p’ come differenza di due quadrati.

    E questa è l’unica segnatura possibile che il procedimento algebrico stesso mostra essere tale.

    Nota; un numero dispari, ed i primi lo sono tutti tranne – 2 – , possono esser scritti anch’essi come differenza di quadrati, ma di solito/in generale(come dice il testo sopra) hanno la possibilità di essere scritti in più modi con questa segnatura.

    Ecco come si indaga quanto sopra espresso con ‘in generale’;

    Un dispari può essere segnato come, 2n+1 , dove ‘n’ è un naturale. Posso riscrivere l’espressione ora data come;

    2n+1 = (n+1)quadro – ‘n’quadro. (β)

    Ma, per es. il numero dispari – 15 – che non è primo lo posso scrivere come ;
    ; 15=4quadro – 1quadro, ma anche come 15=8quadro – 7 quadro.
    Ed anche il numero dispari non primo 33 . Ne segue per quanto alla (β)

    n=16 (33=2n+1),ma anche per la relazione qui sopra;

    33=17quadro – 16quadro

    ma può anche essere ;

    33=7quadro – 4quadro.

    Due segnature possibili.

    Mentre come sopra dimostrato un primo può avere un solo tipo di segnatura come differenza di quadrati.

    Come si vede già, i numeri primi sono una categoria,un sott’insieme dei naturali che hanno varie particolarità tra le quali quella di sfuggire a sistemi di segnatura algebrica che ne permetterebbe la immediata individuazione come ad es. di un dispari qualsiasi.

    Un numero dispari – non primo – puo’ essere scritto come differernza di quadrati in due modi distinti – in generale – .

    Uno di questi due modi si e’ visto con la formuletta sopra trovata (III**) per scrivere un primo qualsiasi tranne – 2 – (quindi un qualsiasi primo dispari ) .

    Il secondo modo , e’ il seguente ;

    dato che si e’ in presenza di un dispari non primo necessariamente e’ divisibile per un numero naturale diverso da se stesso e dall’unita’ .
    Posto ‘D’ questo dispari non primo , ‘n’ il naturale suo divisore e ‘K’ il quoziente , posso scrivere ;

    D/n = K , e D = ( K – ‘alfa ‘)quadro – ‘alfa’ quadro , (IV) .

    Dove ‘alfa’ e’ un valore naturale , che

    ( Se esiste un sistema di differente sengnatura ( cioè diverso la III** )di un dispari non primo come differenza di quadrati la relazione (IV) qui sopra darà un risultato possibile ).

    che
    permette di scrivere ‘D’ come differenza di quadrati in modo diverso come sopra visto rispetto alla formula per i numeri primi [ cioè la (III**) ],applicabile anche ad un semplice dispari non primo .

    La (IV) semplificata ; Kquadro – 2K’alfa’ – D = 0 , (V) .

    Risolvendo la (V) in ‘alfa’ ottengo ;

    ‘alfa’ = ( ‘K’quadro – D) / 2K , (VI) .

    Dato il dispari di cui si cerca segnatura come differenza di quadrati posso ottenere il valore ‘alfa’ che mi permette tale segnatura impostando nella (VI) , ‘D’ e K ottenibile da un qualsiasi divisore di ‘D’ ,

    Ad es . ; 39 dispari non primo , posso scriverlo secondo l’equazione sopra vista (III**) che mi da’ nel caso di 39 ;

    39 = 20quadro – 19quadro ,

    si noti che la segnatura secondo numero primo da sempre la

    differenza di quadrati di due numeri attigui .

    secondo la (VI) , essendo 39 divisibile per 3 = n ,da cui 39/3 = 13 = K ,

    ‘alfa’ = ( 13quadro – 39 )/26 = 5 = ‘alfa’ .

    Da cui la (IV) ; 39 = ( 13 – 5 )quadro – 5quadro = 8quadro – 5quadro .

    Diversa segnatura di 39 , come differenza di due quadrati .

    Se in un dispari non primo ricorre l’eguaglianza n=k ne segue che l’unica sua possibile segnatura come differenza di quadrati è secondo la III** cioè secondo algoritmo per dispari primi, ma solo se ha come divisore unico,oltre l’unità e se stesso, ‘n’ . E questa unicità di divisore ‘n’ ricorre solo in dispari particolari; quadrati di primi.
    Se n=k ne segue che il dispari in questione è un quadrato perfetto e come tale può avere un solo divisore se e solo se, è un quadrato di un numero primo ( ad esempio , 9 , 25…)
    [ Se n=k ma il dispari non primo non è un quadrato di un numero primo, ha necessariamente un secondo divisore oltre ‘n’, e quindi dividendo questo dispari per altro divisore si ottiene un quoziente (k) diverso dal secondo divisore ‘n*’ .
    Ad es. ’81’ ha un divisore ‘n’=9=k ma ha anche per divisore 27=’n*’ da cui k=3 ].

    Dunque l’espressione

    ‘in generale’

    di cui sopra trova chiarimento nei calcoli fatti;

    un dispari non primo e non quadrato perfetto di un numero primo ha sempre doppia sergnatura come differenza di quadrati cioè secondo la (III**) e secondo la (IV)

    Come si vedrà nei due post qui subito sotto si può affermare che tutti i multipli dei soli primi ad una cifra, cioè tutti i multipli de: 2, 3, 5, 7, costituiscono la totalità dei numeri naturali (tranne alcuni multipli di primi )non primi e non quadrati di primi ( ad esclusione dei loro quadrati, 4, 9, 25, 49) e tra questi (i dispari, cioè i multipli di 3, 5, 7) hanno doppia segnatura come differenza di quadrati cioè secondo la (III**) e secondo la (IV) . (Tranne i tre quadrati; 9, 25, 49).

    Da un vecchio problema della Scuola Normale di Pisa

    Da un vecchio problema della Scuola Normale di Pisa

    Da un vecchio problema della Scuola Normale di Pisa . (Seconda parte)

    Da un vecchio problema della Scuola Normale di Pisa .
    (Seconda parte)

    Un metodo per individuare un numero primo, da quanto sopra visto/calcolato è dunque il seguente;

    – ( tra i molteplici individuati che hanno il ‘demerito’ di richiedere ‘tempi biblici’ nel loro calcolo/procedimento algoritmico…) –

    ; preso un numero dispari assai grande,
    – ( numero che oggi sono esponenziali e come tali richiedono configurazione di calcolo adeguata…) –

    lo si prova a riscrivere come differenza di quadrati, come le due diverse segnature qui sopra viste.

    Ovvio che se lo riscrivo secondo segnatura ‘non da numero primo’ ,
    cioè non come differenza di due numeri attigui (differenti per una unità),
    so già che è un numero dispari e non primo, avendo individuato un divisore!

    Ma se…

    Se le due segnature coincidono
    significa che siamo in presenza di un numero primo o di un quadrato perfetto di un numero primo.

    Se,
    fatta la radice quadrata di questo numero dispari scelto arbitrariamente, si è in presenza di un numero naturale – cioè la radice è un numero naturale e non irrazionale

    allora si è in presenza di un numero dispari che è un quadrato di un numero primo,

    E questo è il numero primo individuato!

  18. Definizione di numero primo

    (Prima parte)

    1

    ulam

    Partiamo da una famosa notazione,semplicissima nella sua scrittura, ad opera di un matematico a tempo perso di nome C. Goldbach. Diplomatico del XVIII SEC.

    Era difatti un diplomatico tedesco naturalizzato russo grazie ad una intelligente campagna russa,della sua nomenclatura, di importazione di intelligenze straniere per sopperire all’arretratezza culturale in cui versava allora la Russia zarista.(Vedi nota**)

    Goldbach notò che un qualsiasi numero pari – a partire da 4 – può essere scritto come somma di due numeri primi,uguali o diversi tra loro.

    In simboli; 2n= p’ + p”

    dove ‘n’ è un qualsiasi numero naturale e p’ e p” sono due primi uguali o diversi tra loro.

    Questa congettura, o teorema, non è mai stata smentita, – sulla falsa riga di Popper – ma non la si è neanche mai dimostrata.

    Passiamo ora ad una sorta di definizione,spacciata per tale, di numero primo che ricorre sia in testi che in aule dove si affronta l’argomento.

    Qui troviamo la spiccia affermazione/definizione;

    Un numero primo è un intero divisibile solo per se stesso e l’unità.

    Non che sia sbagliata in se solo che sembra più essere una definizione che si restringe alle proprietà di un qualsiasi numero primo,.

    Intanto cominciamo col dire che per divisibilità (divisibile) si intende divisibile in parti intere cioè in un valore naturale del quoziente.

    Il numero ‘2’ è numero primo

    essendo divisibile solo per l’unità e se stesso. Ed è l’unico numero pari della sequela infinita dei primi.Un qualsiasi altro numero pari , 2n dove ‘n’ è un intero qualsiasi a partire da 2, sarebbe divisibile per 2 stesso e come tale non primo.
    Si noti che si parla di primi gemelli quando questi differiscono tra loro di due unità ad es. 5 e 7 ed anche 11 e 13. Hanno per unità intermedia rispettivamente 6 e 12.
    Come si parla di primi gemelli, così nell’ unico caso rappresentato dai due numeri primi 2 e 3 si deve parlare di primi’siamesi’,mutuando scherzosamente il linguaggio dal mondo medico . Difatti questi due primi sono gli unici attigui,non differendo tra loro che di una unità e non due come i primi gemelli.

    L’ unità – 1 – come numero – solo in fieri – primo

    E’ un intero positivo ed è divisibile solo per l’ unità e se stesso.L’unità coincide con se stesso.
    Si noti che,parallelamente alla logica di quanto ora detto circa il -2- ;un numero pari per definizione è un numero divisibile per -2- ,cioè un pari è un numero che diviso per -2- , genera due parti uguali tra loro ed intere.
    Il -2- è divisibile per -2- ,ma è pure se stesso.
    Se seguiamo questa logica come per l’unità -1- come numero primo dovremmo allora escludere anche il -2- dal novero dei numeri pari,il che non è ma invece si esclude l’unità -1- dai primi seguendo un identico percorso logico che differisce,non senza contraddizione nelle sue conclusioni.
    Questo ‘atteggiamento’ ora detto verso la definizione e ricomprensione o meno in un insieme di determinati valori sarà nel post successivo ripreso. Osservo solo che nella prassi quotidiana non si fanno tante questioni di ortodossia logica nel ricomprenderli o meno, ma solo questioni di pura praticità.

    spazio profondo 2

    (Nota **)
    Cristiano Goldbach era nato come il famoso filosofo Kant nella città allora tedesca prussiana di K’o’nigsberg città che darà anche i natali al matematico Hilbert e dove anche Kurt G’o’edel pubblicherà il suo teorema di incompletezza/indeterminazione.
    Oggi tale città si chiama col nome russo,essendo territorio exclave russo, col nome di Kaliningrad.

    ‘K’o’nigsberg…
    dove anche esistendo una particolare disposizione dei ponti sopra un fiume che l’attraversa il noto matematico svizzero russo amico di Goldbach , EULERO trarrà spunto per risolvere l’impossibilità di attraversarli tutti senza l’ inevitabilità di attraversarne uno più di una volta , attraverso la questione/problema delle ‘fratte’ …

    (Continua…)

  19. …(segue)

    Definizione di numero primo

    disposizione numeri primi spazio

    ( seconda parte )

    Qui sopra l’origine dell’immagine precedente
    che traccia i numeri primi nello spazio ;
    le quattro unità ( 2,3,5,7) le ventuno decine,e le decine collegate alle sei centinaia attigue mediante segmenti tratteggiati.
    Il disegno è a spirale in senso anti orario, e l’unità di base di ogni numero è data – circoscritta con – da un quadratino .

    1

    {2. 3. 5. 7.} 11. 13. 17. 19. 23. 29. 31. 37. 41.(…)

    4. 6. 10 14 22. 26. 34. 38. 46. 58. 62. 74. 82 (…)

    6. 9. 15 21. 33. 39. 51. 57. 69. 87. 93. 111. 123. (…)

    8 12 20 28 44. 52 68. 76. 92. 116. 124. 148. 164. (…)

    ……….

    a) ; 1/1 = 1. b) ; P/P = 1 e P/1 = P. c) n/n = 1, n/1 = n, n/k = Л

    dove n. k Л , sono numeri naturali, P numero primo.

    La tabella qui sopra rappresenta ,
    in base a quanto sopra, nel precedente post fatto cenno ,alcune caratteristiche dei numeri primi , una rappresentazione della relazione tra ;

    **l’ unità. -1- , (prima riga)

    **i numeri primi ( seconda riga ), 2, 3, 5…

    **e tutti i numeri naturali, multipli dell’unità e dei numeri primi, dalla terza riga in poi.

    Si consideri ora le colonne di detto schema ; 2,4,6,8…(prima colonna) 3,6,9,12… (seconda colonna) etc…

    possiamo vedere ogni numero primo come ogni primo elemento di questa sorta di tavola pitagorica.

    Questa tabella deve essere vista come una rappresentazione di tutti i naturali multipli dell’unità -1- e dei numeri primi.

    I quattro primi tra parentesi graffe { 2, 3, 5, 7} ,
    che sono la totalità dei primi costituiti da sole unità ( primi ad una sola cifra) , formano la totalità dei naturali non primi, ( tranne alcuni multipli di primi) e non quadrati dei primi stessi,( a partire dal primo ’11’ ) cioè quelli che soddisfano tutte e tre le operazioni elementari presenti al punto c mediante loro multipli,cioè attraverso sommatoria di ennesime parti uguali a se stesse.
    Una proprietà di questi quattro primi formati da una unità si è notata ,prima di verificarla come qui ora fatto,nel post -vedi nota in calce – nel post qui sopra dell’ 11/7/2014. Cioè di costituire come multipli ,(considerati ovviamente solo i multipli dispari),ad esclusione dei propri quadrati ,tutti i numeri naturali aventi doppia segnatura come differenza di quadrati di due numeri naturali.

    Con un insieme finito costituito da queste sole quattro grandezze, si può costruire un insieme infinito di grandezze costituite da naturali pari o dispari non prime.

    Possiamo notare dunque;

    ____ Il primo numero è l’unità -1- .

    ____ Ogni numero naturale successivo all’unità -1- è un multiplo dell’unità stessa.
    In altri termini un qualsiasi numero naturale maggiore dell’unità ridotto ai suoi minimi termini non è altro che il risultato della somma ennesima di unità .
    In questo senso l’unità -1- non è altro che l’atomo di tutti i naturali .E come l’atomo nel mondo fisico è indivisibile ( vedi l’operazione di cui al punto ‘a’ ) così avviene con questa semplice operazione al punto ‘a’ .
    Ovviamente si è arrivati nel mondo fisico alla divisione dell’atomo, al pari se si esegue pari operazione nel mondo matematico si ottengono dei valori non interi, ma frazionari od irrazionali.

    ____ Vi è una sequela infinita di naturali che sono multipli, tutti quanti, dell’unità -1- .

    Questa sequela particolare di naturali sono i primi numeri di tutti i naturali successivi . E sono detti numeri primi .

    Come visto l’unità -1- è l’unica grandezza a godere della proprietà di cui al punto ‘a’

    Così i numeri primi sono gli unici ad essere limitati alle due operazioni di cui al punto ‘b’

    I numeri naturali multipli dell’unità e dei numeri primi godono delle tre operazioni di cui al punto c .[ Hanno l’operazione de; n/k = Л , cioè hanno un divisore o più ].

    ____ Se si accetta l’unità -1- come numero primo come in effetti è ,non essendoci alcun ostacolo logico in merito, essendo l’unico numero naturale non multiplo di nessun altro valore, ne seguirebbe che sarebbe l’unico numero primo esistente .

    ____ Se si esclude l’unità -1- dal novero dei numeri primi ,necessariamente per ‘convenzione’ , ne segue che si viene a costituire un nuovo insieme ,costituito da infinite grandezze, con le caratteristiche di cui al punto ‘b’ .

    Nota;

    Se all’interno delle scienze umanistiche è possibile porre utilmente delle ‘convenzioni ‘ ,delle leggi, per necessità dell’uomo suo creatore, da quanto sopra si può notare,
    pari operazione non è del tutto operabile nel mondo dei numeri

    che non sono quindi ipotizzabili come creazione pura della mente umana,

    senza ottenere delle incongruenze logiche come sopra visto con i numeri primi .
    E’ ipotizzabile che la determinazione mediante algoritmo, non semplice crivello che va per tentativi e verifiche, dei numeri primi così definiti, è fin’ora stata vana
    proprio per il fatto che la ricorrenza di questi primi avviene in base ad una loro definizione ‘convenzionale’ che non ne permette la immediata individuazione .

  20. L’EQUAZIONE GENERICA COMPLETA di SECONDO GRADO SENZA INCOGNITA.

    arndt

    Nota;
    Ernst Moritz ARNDT , e’ la Persona ritratta in questo post.
    Egli fu estraneo al mondo della matematica, fu difatti un pedagogo e un promotore di Idee assai illuminate per il suo tempo. Visse a cavallo tra il XVIII sec. ed il successivo.

    Tuttavia trova qui posto per il titolo di una Sua Opera; GEIST DER ZEIT (lo spirito del tempo;
    in lingua tedesca meno arcaica : ” ZEITGEIST ” ).
    Questo riferimento alla Sua Opera appare chiaro se si confronta questo titolo d’Opera con quanto espresso su G’O’DEL .

    Difatti l’ Idea prettamente tedesca di ”dimensionare” il Sapere con il Tempo che una Civilta’ vive, era e rimane un’Imperativo irrinunciabile del mondo germanico. Imperativo che certo diede i suoi frutti .{ W.F. Hegel – a riprova di quanto qui ora sostenuto – per fare un esempio,ebbe a dire delle cosi’ dette : ” FILOSOFIE ORIENTALI ” quali Buddismo,Zen,Scintoismo… che non sono da ritenersi vere e proprie filosofie in quanto incapaci di calare l’ Uomo all’interno della Storia e di farlo evolvere in Essa} .

    CERTO e’ che questo CONCETTO concentrato in un termine, appunto ” ZEITGEIST ” non deve essere confuso con un film sul web suddiviso in varie parti che ha ”pretese critiche” ben sopra il livello raggiunto . ( si vedrà in merito nella pagina:’ quattro chiacchiere sul cinema d’essai…” )
    Tale film e’ solo un surrogato di dubbio valore del concetto ben elaborato a suo tempo da Arndt e poi da G’o’del .

    Nota seconda;
    ;Arndt non era tedesco di nascita, ne di sangue ma Svedese. Si puo’ dire che fu tedesco – nel senso di adesione alla cultura germanica – non per ”condizione anagrafica” ma per meditata scelta personale.
    In questo sara’ seguito da altre Figure quale ad es. l’Inglese Stewart Houston CHAMBERLAIN,l’Autore di una Opera che cadde poi in ‘disgrazia’ : ” Die Grundlagen des XIX sec. (1899) , ( I Fondamenti del XIX sec. ) .

    _____________

    L’EQUAZIONE GENERICA COMPLETA di SECONDO GRADO SENZA INCOGNITA ;

    La ricerca dell’espressione algebrica che esprime quanto sopra nel titolo di questo post qui
    di seguito ne indico il procedimento;

    Possiamo scrivere l’equazione generica completa di secondo grado con le seguenti

    espressioni;

    axquadro+bx+c=0 (I) e,per Viet a(x-x’)(x-x”)=0 (II).

    Poste la (I) e la (II) in un sistema dopo semplificazione si ottiene;
    ………………………..bx+c = -(ax’+ax”)x + ax’x” , (III)……………………………………………

    La (III) si annulla se contemporaneamente ;bx = -(ax’+ax”)x e c=ax’x”,ma ciò che ottengo sono le relazioni ben note che si ricavano dalle proprietà delle radici;x’+x”=-b/a e x’x”=c/a .

    Tuttavia esiste un altro modo per annullare/risolvere la (III);essa si annulla se contemporaneamente si ha; bx=ax’x” (IV) e c = -(ax’+ax”)x (V).
    Evidenziando l’incognita nella (IV) e (V) si ottiene; x=ax’x”/b e x= -c/(ax’+ax”).

    Dato che l’incognita è uguale a se stessa,x=x raffrontando le sue espressioni ora trovate ottengo;
    …………..(aquadro)(x’quadro)x” + (aquadro)x'(x”quadro) + bc = 0 (VI), che posso

    riscrivere come;………. aquadrox’x”( x’ + x”) + bc = 0 , (VI’)………………………………….

    La (VI) [e la (VI’)] è quanto cercato; a , b , c , x’ e x” sono valori noti,in particolare x’ e x” sono le radici.L’incognita è stata elisa come richiesto nella ricerca.

    testomat3

  21. in corso…

    Un paio di PROBLEMI con i NUMERI PRIMI.

    Solita nota;

    fields

    John Charles FIELDS è il matematico canadese ritratto nella fotografia di questo post.
    Pur essendo stato un matematico di valore,è passato alla storia della scienza come l’ideatore della medaglia, che porta il suo nome che ogni quattro anni dal 1950 viene assegnata a matematici distintisi nella loro Opera.
    Tale onorificenza fu istituita da Fields nel 1936,non ritenendo adeguata la mancanza di un riconoscimento in questo campo da parte della Fondazione Nobel.

    Riporto qui di seguito la soluzione con relativo procedimento,di un paio di problemi con i numeri primi.

    Il primo; a), si tratta di determinare un numero primo a due cifre le cui cifre invertite,generano un numero che può essere scritto come differenza di due quadrati di cui il primo è il numero primo stesso ed il secondo un intero.

    Tenere presente per entrambi i problemi quanto già visto circa la possibilità di scriver un numero primo come differenza di quadrati.

    Soluzuione. Si noti che rovesciando le cifre di un numero passo dal caso (I) al caso (II);

    (I) P=10a+b e (II) P’=10b+a dove P numero primo cercato e a,b valori naturali compresi tra 1e9. P’ potrebbe essere primo o meno.
    Per definizione posso scrivere; P’=(10a+b)quadro – X . Per quanto già osservato ( differenza di quadrati…) ‘X’ è una unità di meno del numero cercato.Posso impostare;

    P’=(10a+b)quadro – (10a+b-1)quadro.

    Da cui ;
    P’=20a+2b-1.

    Essendo anche P’=10b+a, impostate le due equazioni in un comune sistema, ottengo l’equazione risolvente; 19a-8b-1=0. ‘b’ è certamente un naturale dispari(P=10a+b..)
    , provando valori dispari tra 1 e 9 con b=7 ne segue a=3.

    Il numero cercato è 37 ; rovesciato è 73(un primo anche questo),73=(37)quadro-(36)quadro,
    come per formuletta differenza di quadrati…

    Il secondo; b), determinare due naturali primi per cui il primo elevato al quadrato, dividendo il secondo al quadrato meno l’unità,genera il primo numero stesso.

    Per definizione; (bquadro-1)/aquadro=a (I) , da cui acubo-bquadro+1=0.

    Il primo numero primo è -2-; anche qui per semplici tentativi; posto a=2 ne segue b=3.
    I valori cercati.
    Essi sono due primi che rispettano la regola per cui due numeri (naturali) se primi tra loro,all’ennesima potenza generano numeri tra loro primi.
    Si può in questo caso dire per la relazione (I),che ogni coppia di numeri primi di cui il primo è -2-,(a) genera un numero divisibile dal raportto tra il quadrato del secondo meno l’unità ed il quadrato del primo (4),che è pari ad ‘a’ stesso.

    testo5

    testo6

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