Solo Al Secondo Grado

Presentazione / MATEMATICA & LOGICA , le SOLUZIONI .

………………………………………………………………………………………………….

Premessa ;

; la presente pagina è il ‘continuum‘ di quanto impostato nell’articolo del marzo 2011 di questo blog , [ ** ]  . Lo si può leggere anche direttamente attraverso il  link  in fondo alla presente pagina ( nel primo commento ) ,oppure ne : ‘ ARCHIVIO , marzo 2011 ‘ .

Nota ;

quanto seguirà nei post/commenti di questa pagina, non sono che le soluzioni del problema  [/*/] –  che fu ‘logo principale’ , come la fotografia qui riportata – del blog eliso con la cancellazione del sito : ‘ I.P. it  ‘ nel 2010 , già trascritto nell’articolo di cui al link qui sopra e di cui ero l’autore .

Seguirà poi indicazione dell’ origine  del problema principale/logo di questo ‘ SOTTO ‘/ blog, – da dove è stato tratto – , con la relativa soluzione riportata dal testo originario ma, si noterà , non è indicato dal testo stesso alcun iter risolutivo.

Le soluzioni ( quattro in tutto ;  tre ‘ SOLO  AL  SECONDO  GRADO ‘ ed una al primo ) sono dunque del tutto originali .

[/*/]

Insieme ai post riportanti le quattro soluzioni , verranno aggiunti dei post riportanti delle analisi intrinsecamente collegate alle soluzioni stesse .

.

Per semplicità qui subito sotto  riporto ulteriormente il testo del problema .

Date le seguenti equazioni ,

,
(I);  3Xquadro – 4X + p – 2 = 0   e ,   (II) ; Xquadro – 2pX + 5=0,

determinare il valore di `p` per cui la (I) e la (II), hanno una radice in comune  ma senza dover ricorrere alla risoluzione di un’ equazione di terzo grado in cui inevitabilmente ci si trova di fronte con il sistema impostato con le due equazioni.
( Anticipo che l`equazione che da’  la soluzione , ma che e’ di terzo grado,  e`;

;   6Xcubo – 7Xquadro – 4X + 5 = 0 ,

per risolverla basta scomporre in fattori il termine noto [5] ).

(I)
(II)

(III)

[ Qui sopra le tre equazioni sono  inserite con link d’immagine , che ne permette la scrittura matematica ] .

Si vedranno nel dettaglio

le quattro soluzioni  del problematre al secondo grado ed una al primo – ,  problema che a suo tempo rimase irrisolto da parte degli iscritti al  sito  qui sopra indicato e poi  eliso .

Nota finale ;

il presente ‘SOTTO’/blog

– costituito da questa pagina e dalla pagina : ‘  MATEMATICA / LOGICA / GIOCHI , tracce varie ‘  – ,

ha come intento principale quello di affrontare alcune questioni matematiche in modo ORIGINALE ed ORIGINARIO , ma non per questo spurio .
Nel percorrere questo intento si è necessariamente dovuto tener conto dei metodi di volta in volta elaborati – nel corso della Storia di questa Scienza da vari Matematici – per giungere a soluzione delle questioni poste .
Questo confronto tra vecchie e attuali metodologie ha messo in evidenza l’attualità delle prime anche nella Nostra realtà . Come mostra l’applicazione della tecnica risolutiva per le equazioni di terzo grado, – escogitata dai Nostri Algebristi italiani rinascimentali – , a quelle di secondo grado mediante il presente problema principale . Tecnica poi applicata anche ad alcuni problemi, in vari altri post .
Un aspetto utile che da questo confronto credo sia chiaramente emerso è l’utilizzo non ‘schematico’ di algoritmi e procedimenti vari che attualmente finiscono col limitare la visione complessiva – che deve essere logica e ‘duttile’ – di questo mondo fatto anche – ma non solo – di numeri .
Si tenga dunque conto dell’attualità – leggi UTILITA’ – dello studio della Storia Matematica al fine di migliorare / affinare le proprie capacità matematiche nell’affrontare nuove questioni .
Uno studio quest’ultimo assai trascurato nel mondo didattico .

‘ CALCOLATRICI ONLINE ‘

Nell’articolo di giugno 2011 :’CALCOLATRICE ONLINE ‘ ,
,vedi in;’ARCHIVI 2011 ‘ o direttamente al seguente link ;

https://soloalsecondogrado.wordpress.com/2011/06/19/calcolatrice-online/

sono riportati tre link che immettono al calcolo online, sia con sistema di rappresentazione del calcolo svolto ( calcolatrice al primo link ),sia per calcoli di numeri molto grandi – e tra questi alcuni numeri primi ( calcolatrice al secondo link )… – .

I primi due link ;

http://web2.0calc.com/

e

http://world.std.com/~reinhold/BigNumCalc.html

Il terzo link ;

; http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/primzahlen.htm

veifica – come il secondo link qui sopra – la primalità di un numero( anche se con minor efficienza rispetto a quello ) .
Viene tuttavia qui riportato perchè contiene la funzione di indicare di un dato numero non primo la sua possibile scomposizine in fattori – cioè per quali valori naturali è divisibile – .

Ri/Benvenuti nel ‘SOTTO’/blog, topo.gigio .

.

[ ** ]

Nell’articolo di cui sopra  è volutamente rimasta indicata una serie di problemi/questioni/analisi  vari che erano stati affrontati nel blog eliso e che saranno via via re-impostati nella pagina:

: ‘ MATEMATICA / LOGICA / GIOCHI , tracce varie ‘ .

Si noterà che ne fuoriesce  un metodo piuttosto peculiare di affrontare il mondo matematico e non solo (…) .

Precisazione sulla scrittura matematica .

Quando possibile ogni espressione matematica ha una doppia trascrizione ;

la prima è espressa in maniera non ortodossa – tipo ad es. ; ‘3xquadro’ – … e subito sotto

la seconda, con espressione tipica matematica .Quest’ultima richiede necessariamente link d’immagine ( per lo meno nei commenti ).

Il link pur permettendo valida espressione algebrica ha l’inconveniente di essere ‘inattivo’ a periodi e/o in certi casi .Per evitare la mancata lettura di ciò che trascritto vengono riportate entrambe le scritture .

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Commenti su: "Presentazione / MATEMATICA & LOGICA , le SOLUZIONI ." (14)

  1. […] Presentazione / MATEMATICA & LOGICA , le SOLUZIONI . […]

  2. “PRIMO“ METODO RISOLUTIVO DEL PROBLEMA QUI SOPRA POSTO.

    Trascrivo le equazioni di cui sopra . Rispettivamente la (I) , la (II) e la (III) ;

    (I)
    (II)

    .Premetto che da questa soluzione ne deriva una ulteriore questione logica/matematica che necessita anch`essa di soluzione .

    2Xquadro+X(2p-4)+p-7=0 ,la (IV) .

    mat3

    [ solita trascrizione per immagine/link] .
    La (IV) e` l`equazione risultante impostando un sistema formato dall`equaz.(I) con l`equaz.(II), cioè le due equazioni di partenza, di cui sopra.

    Se pongo nella (IV) la relazione X=u-v ,dove `u` e `v` sono due nuove variabili,
    ottengo;
    ; 2uquadro-4uv+2vquadro+2up-4u-2vp+4v+p-7=0.

    mat4

    Raggruppando opportunamente ottengo;

    ; 2u(u+p-2) + 2v(v-p+2) – 4uv + p – 7 = 0 ,

    impostando questa equazione in un sistema ottengo che la stessa si eguaglia a zero se contemporaneamente si ha;
    u+p-2=0, poi se;
    v-p+2=0 e se,infine
    -4uv+p-7=0.

    Cosi` ricavando `u` dalla prima e `v` dalla seconda e sostituendole nella terza ottengo;

    4pquadro – 15p + 9=0,

    mat5

    che e` l`equazione risolvente il problema al secondo grado.

    I valori che la risolvono sono ; p`=3 e p“=3/4 ,

    si scarta p = 3/4 perche` valore estraneo alla soluzione cercata.

    Non resta che il valore p`=3

    da cui,a riprova, sostituendo il valore p=3 nella (I) e (II) diventano ;
    3Xquadro-4X+1=0 (I*) e
    Xquadro-6X+5=0 (II*),
    .
    mat6

    la cui radice comune e` X=1 .

    NON RESTA CHE CHIEDERCI, PERCHE` SIMILE METODO FUNZIONA ?
    ECCO I TERMINI DEL NUOVO PROBLEMA PRIMA DI FORNIRE IL SECONDO METODO.
    LA DOMANDA CHE SEGUE E` DUNQUE LA SEGUENTE;
    l`EQUAZIONE (IV) ;

    2Xquadro + X(2p-4) + p – 7 = 0 ,la (IV) .
    .

    mat3

    in che tipo di equazioni (fascio,se si vuole) rientra?

    Dopo risposta a questa domanda ne seguirà il SECONDO METODO RISOLUTIVO. Sempre al secondo grado !

  3. RISPOSTA al QUESITO qui sopra posto.

    Per capire in quale tipo/fascio di equazioni rientri la (IV);

    2Xquadro+X(2p-4)+p-7=0 ,la (IV) ,

    mat3

    basta ripercorrere l’iter fatto nel post qui sopra con questa equazione ,

    , – cioè sdoppiando l’incognita X in due variabili ( ‘u’ e ‘v’ ), X=’u’ – ‘v’ , da cui si è ottenuto l’equazione risolvente ; 4(‘p’quadro) – 15p + 9=0 , –

    mat5

    ma applicandolo ad una equazione completa di secondo grado.

    La procedura ;

    aXquadro + bX + c = 0 , ( alfa )

    mat7

    posta la relazione X = ‘u’ – ‘v’ e posto un comune sistema tra queste due equazioni si ottiene ;
    .
    a(‘u’quadro) – 2a’u”v’ + a(‘v’quadro) + b’u’ – b’v’ + c = 0 , ( beta )

    mat8

    raggruppando opportunamente si ottiene ;

    ; a’u'(‘u’ – 2’v’) + ‘v'(a’v’ – b) + b’u’ + c = 0 .

    Trasformando questa equazione in un sistema di tre equazioni – come nel post sopra fatto – si ottiene che essa trova soluzione in ‘u’ e ‘v’ se questo sistema è soddisfatto ( cioè si eguaglia a zero ) per le seguenti relazioni ;

    ‘u’ = 2’v’ ,
    a’v’ = b ,
    b’u’ = -c .

    Ricavato ‘v’ dalla seconda e sostituito nella prima , si sostituisce quindi il valore di ‘u’ della prima nella terza equazione ottenendo la relazione ;

    2(‘b’quadro) = -ac , (gamma)

    mat9

    Questa relazione ci dice in che tipo/fascio rientra la (IV) ; difatti il ‘delta’ cioè il discriminante risolvente una equazione di grado secondo , è dato dall’espressione : ‘b’quadro – 4ac = delta .

    mat10

    Sostituendo (gamma) nel valore di ‘delta’ ottengo la relazione specifica/particolare;

    ‘delta’ = 9(‘b’quadro) ,

    mat11

    che per valori interi di ‘b’ genera sempre quadrati perfetti del delta .

    Da cui le radici ;X’=-2b/a e , X”=b/a.

    mat12

    Se si applica la relazione (gamma) direttamente alla (IV) di cui sopra si ottiene la risolvente vista ;

    ; 4(‘p’quadro) – 15p + 9=0 .

    mat5

  4. ALGORITMO RISOLUTIVO’ ”NON CLASSICO” (ALGEBRICO) DI UNA EQUAZIONE GENERICA COMPLETA DI SECONDO GRADO .

    Premessa ;
    prima di affrontare il ”SECONDO” METODO del PROBLEMA posto, si deve necessariamente affrontare un ‘
    METODO (algoritmo) RISOLUTIVO’ ”NON CLASSICO” (ALGEBRICO) DI UNA EQUAZIONE GENERICA COMPLETA DI SECONDO GRADO .
    Grazie a questo metodo risolutivo generico qui esposto sara’ possibile risolvere – con un secondo metodo risolutivo al secondo grado – , il problema principale/logo di questo blog,
    Si mostrerà/noterà l’utilità di questa metodologia in varie applicazioni .

    LA RISOLUZIONE DI UNA EQUAZIONE DI SECONDO GRADO,ATTRAVERSO METODO ‘NON CLASSICO’.

    Si parte dall’equazione generica completa seguente;

    axquadro + bx + c=0,

    mat13

    pongo la relazione;
    x=’alfa’-k,

    mat14

    dove ‘alfa’ è nuova incognita,‘ k ‘ il parametro da determinare nel suo valore al fine di elidere l’incognita al primo grado (bx), ;

    ;perchè questa è l’idea: se avessi la mancanza del termine al primo grado basterebbe spostare il termine noto a destra dell’uguaglianza per ottenere soluzione immediata.

    Sostituendo x= ‘alfa’ – k e poi ponendo -2ak’alfa’=-b’alfa’

    mat14mat15

    ottengo che il valore cercato è in k=b/2a.

    mat16

    [ Si poteva ottenere ‘ad occhio’ tale valore tenendo conto di ciò che sviluppa il doppio prodotto del quadrato di un binomio ( interessa in questo caso solo il doppio prodotto dato che interessa qui l’elisione dell’incognita al primo grado – bx – ) ] .

    Per cui pongo ora, nell’equazione generica completa di partenza, il valore;
    ; x=’alfa’-b/2a,

    mat17

    semplificando ottengo;

    ;’alfa’quadro=’b’quadro-4ac/(tutto) 4aquadro. Da cui;
    ‘alfa’=+/-radice de ‘bquadro-4ac/(tutto)2a.

    mat18mat19

    Sostituisco nella relazione x=’alfa’-b/2a

    mat17

    ed ottengo l’algoritmo noto ; x=-b+-rad.quadr.de’b’quadro-4ac/(tutto) 2a.

    mat21

    Riassumendo il procedimento risolutivo algebrico non classico di una equazione completa generica di secondo grado;

    matc43

    Attraverso questo ragionamento – che ricalca il percorso risolutivo che si svolge per affrontere ( senza trigonometria ) le equazioni di terzo grado – ;
    ;si può ora procedere a soluzione del problema posto,con un secondo metodo/algoritmo, sempre al secondo grado !
    Saluti,topo.gigio .

  5. “SECONDO“ METODO RISOLUTIVO DEL PROBLEMA QUI SOPRA POSTO.

    :qui di seguito posto ora il secondo metodo risolutivo, che ripercorre il ‘metodo non classico’ di cui sopra indicato l’iter, per la risoluzione di una equazione generica completa di secondo grado .

    Dalla combinazione delle due equazioni date (I) e(II);

    3xquadro-4x+p-2=0 , (I) e xquadro-2px+5=0 , (II)

    mat22

    si può ottenere l’equazione al secondo grado;

    2xquadro + ( 2p-4 )x + p – 7 =0 , (III)

    mat23

    La (III) la devo necessariamente risolvere con metodo non classico.
    Se la risolvessi con l’algoritmo noto otterrei valori immaginari del ‘delta’ (discriminante),quando ne cerco i valori che lo annullano. ( Vedi nota in fondo al post )

    Ripercorrendo il metodo risolutivo indicato qui sopra per l’equazione generica completa di secondo grado,

    devo cercare il valore di ‘k’ che elide il valore della incognita al primo grado della (III),cioè il valore di ‘k’ che elide ;
    ; ( 2p – 4 )x.
    Questo valore si ottiene sostituendo, x=’alfa’ – k nella (III)

    mat14

    e poi eguagliando a zero i valori di alfa(la nuova incognita)al primo grado.
    Così si ottiene il valore utile di ‘k’.La cosa si può anche fare ad occhio tenendo presente ciò che sviluppa il quadrato di un binomio.

    Il valore di ‘k’ è k= (p – 2)/2 per cui x=(2alfa – p+2) / 2, (IV).

    mat24mat25

    Questa sostituita nella (III) mi dà ;

    ; ‘p’quadro – 6p + (18 – 4’alfa’quadro) = 0 , (V) .

    mat26

    Ricavando il valore di ‘p’ risolvente la (V) si ottiene;;

    p= 6+/- rad.quadr.di ”(16’alfa’quadro-36)” / 2 .

    mat27

    Eguagliando a zero il ‘delta’ ,si ottiene un valore di;

    ; alfa=+/-3/2

    mat28

    valore che sostituito nella (V) genera l’equazione ; ;

    ‘p’quadro – 6p +9 = 0 , (VI)

    mat29

    da cui , p=3 ,

    sostituendo p=3 e poi alfa=+3/2 nella (IV) si ottiene il valore di ‘x’ corrispondente, cercato ;

    x=1 ,

    mat30

    [per alfa=-3/2 ne segue x=-2,risultato non accettabile].

    Questo procedimento, chiarissimo nel percorso algebrico appare meno intuitivo nel suo iter logico.
    Non resta che porre attenzione in merito con la notazione che segue .

    Si noti ;

    sostituendo p=3 nella (III) ; 2xquadro + ( 2p-4 )x + p – 7 =0 ,

    mat3

    ottengo l’espressione ; xquadro + x – 2 = 0 , (VII)

    il cui ‘delta’ ( ‘b’quadro – 4ac) è pari a 9’b’quadro ,

    mat31

    cioè il valore sopra trovato che identifica la (III) come una equazione facente parte di un particolare tipo/fascio di equazioni ( vedi post qui sopra del 19/maggio/2011 ) .
    Ed è appunto ponendo il ‘delta’ della (V) pari a zero che si ottiene il valore di ‘alfa’ ( 3/2) che sostituito nella (V) stessa, genera da quest’ultima il valore di ‘p’ ( 3) che sostituito nella (III) genera la (VII) che la fa rientrare nel tipo/fascio indicato di equazioni .

    Nota ;
    tentando di risolvere la (III) ; 2xquadro+(2p-4)x+p-7=0

    mat3

    con metodo ‘classico’ si ottiene un ‘delta’ pari a ; ‘p’quadro – 6p + 18 ,

    mat32

    che eguagliato a zero genera un valore negativo quindi una radice immaginaria .

  6. Il METODO / l’ ALGORITMO CHE NON C’ E’ ,

    alias,
    un tentativo impossibile di risoluzione di una equazione generica completa di secondo grado .

    Nel post qui sopra del 20/maggio/2011
    si è vista la risoluzione di una equazione generica completa di secondo grado attraverso il metodo/algoritmo ‘non classico’ ,consistente nell’idea fattibile di elidere, mediante cambio di variabile l’incognita al primo grado (bx).

    Premessa.
    Citerò qui di seguito più volte B. Pascal , sopratutto in riferimento alla sua Opera:
    :‘ I Pensieri’, una raccolta di riflessioni che ebbe a trascrivere durante la sua breve vita.
    Pensieri che non radunò in un Opera completa.Lo fecero i suoi successori.
    Per questa ragione ‘ I Pensieri ‘ sono definiti come : ‘ L’Opera che non c’è ‘.
    E’ dunque in omaggio a questo grandissimo matematico ‘ in fieri ‘ il titolo di questo post.
    Un Suo Pensiero .
    ” Tutta la dignità dell’uomo sta nel pensiero, ma il corretto esercizio della ragione porta prima di tutto a riconoscere i limiti della ragione stessa ” .
    15(527), 81(638), 82(636).[ I Pensieri, summa dei tre numerati ]

    .
    .

    Si è visto il metodo ‘ NON CLASSICO ‘ per risolvere un’equazione generica completa di secondo grado ( post del 20/maggio/2011) . Questo metodo non è fine a se stesso,poichè nel problema principale di questo blog trova valida applicazione,permettendo di risolverlo senza utilizzare un’equazione di grado terzo.
    Come già visto attraverso due algoritmi al secondo grado ( vedi post del 17 e 21 / maggio /2011 ) .

    Con idea analoga ,si può tentare di risolvere un’equazione generica completa di secondo grado con un terzo metodo – il secondo ‘NON CLASSICO’- .

    Ecco il procedimento .

    Nel tentativo di determinare un nuovo algoritmo risolutivo ,nulla vieterebbe – sulla scia del ‘metodo non classico’ – di tentare di elidere il termine noto (c) o come potremmo anche dire il termine con l’incognita al grado zero,

    [ x elevato alla zero è pari a 1,quindi(xelev.zero)c=c mat33 ] .

    Riuscendo nell’intento ci si troverebbe di fronte alla situazione del tipo;

    aalfaquadro +balfa=o [alfa nuova variabile]

    mat34

    ,in questo tipo di equazione basta evidenziare l’incognita e le radici sono date dai valori che annullano i due fattori.
    Entrando in merito al procedimento;

    axquadro+bx+c=0 (I),

    pongo x=alfa+k (II),e sostituisco la (II)nella (I),

    da cui ottengo;

    aalfaquadro+2akalfa+a(kquadro) +balfa+bk+c=0.

    mat35

    Per elidere il termine noto deve essere;

    a(kquadro)+bk+c=0 (III).

    mat36

    Risolvendo la (III) – in ‘k’ – ottengo il valore utile -di ‘k’- allo scopo.Valore da sostituire nella (II),
    ma per ottenere questo valore di ‘k’ devo utilizzare l’algoritmo risolutivo dell’equazione di secondo grado che sto cercando di determinare !

    Ecco la semplice incongruenza/contraddizione a cui ci si trova di fronte.Ecco perchè è il metodo che non c’è !.

  7. ”TERZO” METODO RISOLUTIVO DEL PROBLEMA QUI SOPRA POSTO .

    Premessa;
    prima di procedere in questo post a indicare il terzo metodo risolutivo – al secondo grado – , segue una nota sul grande ricercatore pisano ritratto nella fotografia di questo post.

    In rari casi nella Storia delle Civiltà all’avvento di un nuovo metodo di concepire la Scienza si è avuto un profondo cambiamento nella Cultura in generale e, ancora più rara è l’influenza determinante di questa nel cambiare il corso della Civiltà che la vede nascere.
    Galileo fu tra gli artefici di questa svolta, insieme a Giordano Bruno che sviluppò questo nuovo ordine di Pensiero nel campo prettamente filosofico/teologico .
    Galileo operò tra la seconda metà del XVI sec. e la prima del successivo. Egli capì l’importanza, e determinò di conseguenza il distacco irreversibile,della dicotomia tra mondo filosofico e scientifico.
    La Scienza viene con Lui ad assumere quell’autonomia strutturale e di Pensiero che permetteranno le scoperte successive, impensabili all’epoca .
    Se Leonardo fu il primo Uomo moderno nel capire l’importanza della Tecnica e della Scienza, Galileo riuscì ad operare l’unificazione dell’una e dell’altra in un sodalizio indissolubile e particolarmente proficuo .
    Si viene così a superare l’Idea allora prevalente(di origine aristotelica) di un Sapere ormai identificato e in accordo con una realtà trascendente(metafisica), e così sostanzialmente statico, per approdare ad una Conoscenza in continua espansione e verifica.
    Conoscenza in cui a nuove Teorie – con relative dimostrazioni – se ne accostano di ancor più nuove e penetranti la realtà sensibile, fino a giungere ai moderni modelli teorici.

    In questo contesto ideale la MATEMATICA è lo strumento che permette di – :‘ SE IL MONDO E’ UN LIBRO SCRITTO CON CARATTERI GEOMETRICI ‘ ,come affermava Galileo di effettuare queste misure .
    Circa il rapporto FEDE/SCIENZA ,il Pensiero galileano è tutt’altro che superato;

    Egli affermava che la Scienza ha la sua verità che deriva dall’osservazione dei fenomeni dalla loro misurazione e dalle leggi che ne derivano .
    La Fede ha la sua verità nelle sacre Scritture’ .
    Implicito in lui il concetto che l’uomo di Scienza si ferma dove la ragione umana non può andare oltre .Sia per il fatto che ciò che non può essere falsificato non è oggetto di osservazione scientifica sia per rispetto di una realtà che sempre avrà una metafisica a Noi oscura .

    IL TEMA DI QUESTO POST ;

    TERZO METODO RISOLUTIVO ,
    DEL PROBLEMA/LOGO DI QUESTO BLOG .

    Le due equazioni di cui occorre trovare il valore di ‘P’ per il quale le stesse hanno una radice in comune sono;

    (I) , 3Xquadro – 4X + (p – 2) = 0 e la (II), Xquadro – 2pX + 5 = 0 .


    Sottraendo la (II) alla (I) ottengo l’equazione;

    (III) , 2Xquadro + (2p – 4)X + (p – 7) = 0 .

    La soluzione della (III) secondo la formula risolutiva è data dalla espressione ;

    ; (IV) , X* = [ 2 – p +/-rad.quadr.de(‘p’quadro – 6p + 18) ]/2 .

    ricavando pari soluzione dalla (I) ,ho l’espressione;

    ; (V), X**= [ 2+/-rad.quadr.de(10 – 3p) ]/3

    [ Nota . Avrei potuto ricavare la risolvente anzichè dalla(I),dunque la(V), anche dalla (II) ].

    Se si pone la relazione ; X* = X** cioè la (IV) = (V) , si ottiene semplificando ;

    ; (VI) , 2rad.quadr.de(10-3p) – 3rad.quadr.de(‘p’quadro – 6p + 18) + (3p – 2) = 0 .

    La (VI) trova soluzione se contemporaneamente – ponendo i vari addendi in un comune sistema – , se ;

    ; (VII), 2rad.quadr.de(10 – 3p) = 2 e , (VIII), -3rad.quadr.de(‘p’quadro-6p+18) = -3p .

    [Nota. Va da se che il valore di ‘X’ deve essere comune/uguale alla (VII) ed alla (VIII) .

    Elevando al quadrato la (VII) e la (VIII) si ottengono due equazioni; dalla (VII) si ottiene ;

    ; 10 – 3p = 1 ,

    una equazione al primo grado che trova solzione in, P=3.

    Dalla (VIII) si ottiene l’equazione al secondo grado;

    ; ‘p’quadro – 6p + 18 = ‘p’quadro , che

    semplificata si riduce al primo grado ;

    ; -6p + 18 = 0 da cui P=3 .

    p=3 è valore comune ad entrambe le equazioni [ la (VII) e la (VIII) ], per cui valido nel risolvere la (VI) e, come visto per p=3 si ha il valore della radice comune pari a X=1 .

    Nota;
    si confronti questo procedimento,con quello dell’altra pagina ;
    ‘ MATEMATICA / LOGICA / GIOCHI, tracce varie ‘, dal post del 16/giugno/2011 in poi ( Compendio problema ‘cubi’… )

    il link ;
    ; https://soloalsecondogrado.wordpress.com/matematica-logica-giochi-tracce-varie/

    Si noterà che questo procedimento risolutivo ricorda molto quello lì svolto per risolvere una equazione di terzo grado .

    Questo procedimento, nella sua fase finale di scomposizione dell’equazione(VI), genera facile soluzione perchè non è altro che parte di un ALGORITMO risolutivo tipico di una equazione di terzo grado (qui) applicato/(applicabile in determinati casi;se ricorre la relazione nei post qui sopra vista ‘ -2bquadro=ac ‘ …vedi post del 19/maggio/2011 ), ad un sistema di secondo .

  8. ‘QUARTO’ METODO RISOLUTIVO DEL PROBLEMA QUI SOPRA POSTO .

    La SOLUZIONE al PRIMO GRADO del PROBLEMA PRINCIPALE/’LOGO’ di questo BLOG .

    ELEMENTARITA’ come in un’ OPERA di MONDRIAN.

    [ Il presente algoritmo risolvente è il quarto – dopo i tre visti qui sopra al secondo grado – metodo risolutivo ,ed è l’unico al primo grado ] .

    Si sono viste tutte le soluzioni al secondo grado del problema principale/titolo(logo) di questo blog,

    ora segue soluzione al primo grado del problema.

    Dalle du equazioni;

    (I) 3Xquadro – 4X + P – 2 = 0 , e,

    (II) Xquadro – 2PX + 5 = 0 ,

    impostate in un comune sistema, moltiplicando la (II) per – 3 – e sottraendola alla (I) membro a membro si ottiene ;

    ; (III) X = ( 17 – P )/(6P – 4 ).

    Si tratta del rapporto tra due valori in ‘P’.Se li vedo come due funzioni lineari ( due rette )del tipo;

    ; (IV) f(P) = 17 – P , e (V) f(P) = 6P – 4 , cercandone il valore comune ottengo;

    …..; 17 – P = 6P – 4 , da cui P=3.

    Sostituendo questo valore nella (III) ottengo X = 1, il valore cercato .

    La semplicità lineare di un ragionamento,come in un Opera di P. Mondrian. Pura astrazione.

    Nota;
    come da rappresentazione grafica per immagine qui sopra,la (III) potevo riscriverla come ;

    p = ( 4X + 17 )/( 6X + 1 ) .

    Ma questa non mi permette ne di estrarne il valore utile di ‘p’ ( cioè ‘3’ ) che poi sostituito nella (I) o nella (II) mi dà l’equazione risolvente ( ma al terzo grado ),
    ne mi permette di porre utilmente l’uguaglianza ;

    4x+17=6x+1

    poichè porta a valori inaccettabili di ‘x’ e di ‘p’ .

    Con la (III) ,CONSIDERANDO ‘P’ una VARIABILE INDIPENDENTE – ed in effetti cerco un valore di ‘P’ che varia da attribuirgli, nella ricerca stessa – e considerando ‘X’ una VARIABILE DIPENDENTE, in una espressione :’ f(p) ‘ , ecco che per una dato valore di ‘P’ – di cui qui sopra ora visto il semplice procedimento di ricerca – vi è un solo valore di ‘X’ , cioè nel caso di una radice comune alla (I) e alla (II) .

    Analizzando questo ragionamento/procedimento mediante assi coordinati;

    ; vi è l’incontro di due rette che hanno sull’ ascissa (P) il loro punto di incontro,in un valore comune di ‘P’ [ con P=3si ha il valore ; ’14’ al numeratore e ’14’ per il denominatore di f(p) ] a cui corrisponde – dal rapporto tra numeratore e denominatore – il comune valore di ‘X’ nell’unità, che poi è la radice comune alla (I) e la (II) .

    SI NOTI.
    Questo è un modo per evidenziare il distacco da certi ‘meccanicismi’ risolutivi che tendono a risolvere per ‘abitudine mnemonica ‘ anzichè per riflessione logica .

    inoltre ;

    SI NOTI COME NEL RIDURRE IL SISTEMA TRA LE DUE EQUAZIONI DATE DI SECONDO GRADO,AD UNO DI PRIMO IL ‘SISTEMA’ (TERMINE DA INTENDERSI IN SENSO AMPIO ;COME UN MODELLO MATEMATICO DA NOI UTILIZZATO) CONSERVA SOLUZIONE CERCATA E METODO PER ESTRARLA .

  9. Dal SECONDO al QUARTO GRADO e VICEVERSA; una DEFAILLANCE nella STORIA della MATEMATICA?

    alias ; ‘ AFFINITA’ e DIFFERENZE ALGORITMICHE tra un’EQUAZIONE di SECONDO GRADO ed una di TERZO ‘ .

    ( Prima parte ).

    Nota;
    nel disegno riprodotto in questo post sono rappresentate quattro lettere disegnate da
    Luca PACIOLI, alias Frate Luca di Borgo .
    Francescano per vocazione e matematico per professione e diporto,fu un compaesano del Pittore Piero della Francesca del quale fu peraltro allievo.
    Piero in tarda eta’ si dedico’ difatti agli studi matematici.
    A Sua volta Pacioli ebbe un allievo d’eccezione;

    Leonardo Da Vinci .

    Il tema di questo post .

    Abbiamo visto che oltre il metodo ‘classico’ per risolvere un’equazione di secondo grado,vi è un procedimento differente consistente nell’elisione dell’incognita al primo grado (bx) – vedi post qui sopra del 20/maggio/2011 – .

    Se si rivolge l’attenzione all’equazione completa generica di terzo grado si nota che il procedimento risolutivo di questa è strutturalmente/tecnicamente identico a quello svolto per risolvere l’equazione di secondo grado in modo ‘non classico’.

    -Vedi in merito, i post titolati :‘ Compendio ‘problema cubi’ ; gli ALGORITMI di un’ EQUAZIONE di TERZO GRADO ‘, ( post a partire dal 16/giugno/2011 ) nella pagina ;
    ;‘ MATEMATICA / LOGICA / GIOCHI, tracce varie ‘ .

    Il procedimento risolutivo ;
    -si elide l’incognita di un grado inferiore a quello dell’equazione e poi,
    -qui l’unica differenza del metodo risolutivo tra secondo e terzo grado, si sdoppia -per il terzo grado- la variabile in due incognite.

    Per giungere a questo procedimento risolutivo dal secondo al terzo grado dovettero passare svariati secoli.Ma se guardiamo al passaggio tra terzo e quarto grado vediamo che passarono solo pochi decenni.
    La motivazione ci appare evidente nell’Opera di

    ————————–Ludovico Ferrari,————————————-

    lo scopritore/ideatore (**) del metodo risolutivo di un’EQUAZIONE completa di QUARTO GRADO.

    E’ da ritenere che questo creativo allievo del Cardano abbia ragionato in termini simili a quelli qui ripercorsi a ritroso dal terzo al secondo grado.
    Egli notò che elidendo l’incognita al secondo grado in una equazione di terzo e poi sdoppiando la variabile in due incognite si giungeva a soluzione.Questo anche senza più il sostegno di un modello geometrico visto nei post ‘Compendio problema cubi…’ qui sopra indicati .
    Ecco che ebbe la seguente idea, che non è altro che il proseguimento di quella ora esposta;
    consistente nell’elisione dell’incognita al terzo grado in una equazione di quarto e poi il frazionamento della variabile in tre incognite.

    Il tempo che si è impiegato dalla scoperta dell’algoritmo risolvente una equazione di secondo grado ad uno risolvente il terzo,non è forse da attribuire anche al metodo strutturalmente differente tra quello ‘classico’ di secondo grado e quello di terzo?

    In altri termini è da chiedersi;

    ; se si fosse stati in presenza del modello risolutivo ‘non classico’ di una equazione di secondo grado,il tempo per giungere all’algoritmo di terzo sarebbe forse stato breve – decenni- anzichè secoli come è stato?
    Questo non lo sapremo mai,ma la domanda appare legittima dopo l’analisi svolta.

    Riassumendo;

    in una equazione di secondo grado è sufficiente elidere l’incognita al primo per giungere all’algoritmo risolutivo.
    In una equazione di terzo grado bisogna elidere l’incognita al secondo e poi sdoppiare l’incognita in due variabili.
    In una equazione di quarto grado bisogna elidere l’incognita al terzo e frazionare l’incognita i tre variabili.

    E’ logico pensare che forse qualche matematico abbia – Ferrari o qualcun’altro all’epoca -tentato un procedimento consistente nell’elisione dell’incognita al quarto grado – in una equazione di quinto grado – e poi tentato il frazionamento dell’incognita stessa in quattro variabili,per giungere all’algoritmo risolutivo dell’equazione.
    Questo sulla scia del procedimento logico indicato qui sopra.
    Chi lo fece non ebbe fortuna ,questo alla luce degli sviluppi degli studi in merito, nel XIX sec.

    (**)
    I due termini ;‘ SCOPRITORE ‘ ed ‘ IDEATORE ‘ – a cui fanno da contraltare le espressioni :‘ CREAZIONI ‘ e ‘ INVENZIONI ‘( matematiche ) – possono apparire equivalenti nel definire un risultato matematico .
    In altri termini, appaiono intercambiabili nel loro utilizzo .
    Nei post successivi di questa pagina o dell’altra pagina matematica ( ‘ MATEMATICA / LOGICA / GIOCHI, tracce varie ‘) ,si vedrà che NON è affatto così .

    ( continua…)

  10. (…segue )

    Dal SECONDO al QUARTO GRADO e VICEVERSA; una DEFAILLANCE nella STORIA della MATEMATICA?

    alias ; ‘ AFFINITA’ e DIFFERENZE ALGORITMICHE tra un’EQUAZIONE di SECONDO GRADO ed una di TERZO ‘ .

    ( Seconda parte ).


    Luca PACIOLI ritratto da Piero della Francesca ( il secondo da destra,di Chi guarda )
    [ Pala di Montefeltro, Pinacoteca di Brera, Milano ].

    A completamento di quanto postato nella prima parte ,
    si noti quanto segue ;
    per risolvere una equazione di terzo grado completa occorre:

    a) ridurla ,cioè elidere – mediante cambio di variabile da ‘x’ in ‘ alfa + ‘k’ ‘ ‘ (o, ‘ alfa-‘k’ ‘) – la variabile al grado secondo , b(xquadro) , dove ‘alfa’ e’ nuova variabile e ‘k’ un valore letterale .

    b) cambiare la variabile ‘alfa’ in altre due ; cioè da ‘alfa’ in; alfa = u – v (o, alfa = u + v) ,dove ‘u’ e ‘v’ sono dunquedue nuove variabili .

    c) infine ottenuta una equazione risolvente occorre discuterla raggruppando opportunamente (u-v) e poi scinderla in un sistema di due equazioni distinte.Sistema che è valido/risolto se le variabili(‘u’ e quindi ‘v’) hanno valore comune (hanno lo stesso valore)nelle due equazioni ricavate.
    ( Poichè non possono avere due valori simultaneamente diversi ).
    Questo metodo ‘ c) ‘ è applicato nel post qui sopra :‘ ”TERZO” METODO RISOLUTIVO DEL PROBLEMA QUI SOPRA POSTO ‘ del 23/giugno/2011 .

    SE SI ANALIZZANO LE TRE SOLUZIONI/ALGORITMI AL SECONDO GRADO qui sopra esposte/i ,del problema principale, si noterà

    che queste/i NON SONO ALTRO CHE L’APPLICAZIONE dei ‘passaggi’ ; a) , b) e c) ora detti
    .
    Questi tre ‘passaggi’/algoritmi che per una equazione di terzo grado sono nel loro insieme una singola soluzione ( come visto nei post :’ Compendio problema cubi…’ nella pagina :’MATEMATICA / LOGICA / GIOCHI,tracce varie’), divengono invece se applicati al secondo grado tre distinte soluzioni .

    Dunque procedendo con ordine nell’ applicare un sistema risolutivo complesso per equazioni di terzo grado ( complesso perchè come mostrato consta di vari ‘passaggi’ sopra elenacati ), ad equazioni di secondo grado si ottiene non solo soluzione ma vari procedimenti risolutivi; uno per ogni ‘passaggio’, dunque ben tre algoritmi (AL SECONDO GRADO) .

    Ogni singolo ‘passaggio’ applicato ad una equazione di terzo grado diviene un ‘algoritmo’ se applicato ad una equazione di secondo grado .

    E queste procedure/algoritmi (passaggi) non sono relegabili ad un singolo problema ma estensibili a equazioni generali,come visto .

    Dunque sono dei veri e propri ‘ ALGORITMI ‘ .

    Per ciò che riguarda la soluzione AL PRIMO GRADO vista nel post :‘ ‘QUARTO’ METODO RISOLUTIVO DEL PROBLEMA QUI SOPRA POSTO ‘,del 12/luglio/2011,
    questa soluzione è anch’essa il prodotto dell’osservazione del tutto peculiare della relazione tra la variabile indipendente ‘X’ e la costante ‘P’ .
    Infatti per ottenere soluzione al primo grado è stato necessario considerare non più la relazione in f(X) ma la relazione in f(P) , cioè ‘X’ diviene una variabile dipendente da ‘P’ che è vista dunque ora come variabile indipendente e non più come una costante.

    Saluti, topo.gigio .

    P.S.
    Nel post successivo si vedrà un algoritmo del tutto peculiare che richiedendo il valore risolvente ( la soluzione ) come elemento indispensabile all’applicazione di questo algoritmo stesso non è propriamnete tale ma,come si vedrà,

    mostra nella sua procedura tutta la sua validità logica pur riducendosi al valore di un semplice esercizio .

  11. Un’ IMPOSTAZIONE LOGICA del PROBLEMA/LOGO (principale) di QUESTO BLOG .

    ( Prima parte ).

    Nota;
    Il matematico di turno ritratto in questo post è il francese
    Henri BERGSON .

    E’ stato una personalità eclettica a cavallo tra il diciannovesimo e ventesiomo secolo , come il Suo connazionale e coevo Pierre TEILHARD de CHARDIN .
    Bergson si laureò anche in lettere e successivamente in filosofia dove impegnò maggiormente le Sue energie .
    Egli si interessò a questo vasto bacino del Sapere, volendo da un lato – come Teilhard – ampliare la visione scientifica in un ambito più ampio del sapere , in cui la scienza stessa trovasse i propri fondamenti in radici ben più profonde , dall’altro porre l’accento su un distinguo che andava inesorabilmente fatto ;

    ; PORRE UNA FONDAMENTALE SUDDIVISIONE TRA IL METODO SCIENTIFICO DELLE ‘COSE INANIMATE’ E QUELLO APPLICATO ALLA VITA .

    In altri termini Egli con grande intuizione e anticipo sui tempi capì che l’applicazione di metodologie scientifiche escogitate per la natura inanimata (frutto principalmente del sistema industriale dell’economia) non era fruttosa – se non alle volte, mentre per lo più in altre produceva aberrazioni di vario genere – al pensiero rivolto alla vita come, ad es. al pensiero storico .

    Vorrei sottolineare una conclusione di tutto questo Suo impegno;

    se l’intelligenza umana (attraverso la scienza) produce ‘cose strabilianti’ abbisogna di pari passo di una metafisica della scienza – di una realtà ad essa parallela e sovrapponibile – che impedisca reazioni potenzialmente distruttive che tale realtà intellettiva scientifica crea .

    Aggiungo infine un altro grande tema da Lui affrontato
    – in termini assai differenti rispetto ad un altro grande personaggio del mondo scientifico a Lui contemporaneo (seppur con conclusioni non inconciliabili,ma ecletticamente combinabili) – ;

    ; il tema del ‘TEMPO’ .

    Anche in questo caso le Sue concezioni ebbero a superare la schematicità a cui modelli fisico-matematici puri riconducevano tale nozione .
    Queste Sue intuizioni posseggono a tutt’oggi una loro attualità e non si può certo dire che non abbiano lasciato traccia nell’indirizzare la ricerca scientifica – filosofica successiva .
    Al pari del grande fisico di cui fatto ora cenno – di cui non occorre spendere il nome per la notorietà – Egli ebbe il merito di riflettere sull’Universo come ‘ UN TUTTO ‘ e non come una semplice parte di questa o quella realtà .

    ( la nota su questo grande filosofo ‘del TEMPO ‘ segue nella seconda parte di questo post ) .

    .
    IL TEMA DI QUESTO POST .

    Si sono visti i quattro metodi risolutivi del problema principale .
    Mi soffermo ora sul terzo postato [ vedi post qui sopra del 23/giugno/2011 titolato:’ ”TERZO” METODO RISOLUTIVO DEL PROBLEMA QUI SOPRA POSTO ‘ .] .
    Con questo metodo si riprende la procedura risolutiva dell’iter per una equazione di terzo grado ; la fase finale consistente nell’opportuno raggruppamento delle due variabili ‘u’ e ‘v’ e poi la scissione della equazione in un sistema di due equazioni .
    Niente di complicato ; più facile a farsi che a dirsi come vedrà chi leggerà con un pò di pazienza quanto segue .

    La procedura che permette la soluzione con questo ‘terzo metodo risolutivo’ consiste nel fondere le due equazioni date; la (I) e la (II) traendone una terza al secondo grado,la (III) .
    Da questa viene ricavata la radice X**,la(V) e confrontata con la radice della (I) ,X*,la (IV),ottenendo una quarta equazione (la risolvente) ,la (VI)contenente radici.
    Così poi appare facile scindere questa quarta equazione trovata in un sistema di due equazioni ,da cui la soluzione, (entro il secondo grado) .

    ( continua …)

  12. (…segue )

    Un’ IMPOSTAZIONE LOGICA del PROBLEMA/LOGO (principale) di QUESTO BLOG .

    ( Seconda parte ).


    P. Teilhard de Chardin .

    Nota ;

    nella prima parte di questo post, ho accennato al lavoro del matematico francese, prestato alla Filosofia , Henri BERGSON .
    Nella trattazione di problemi scientifici – nello specifico di ordine matematico/fisico – si trascura spesso

    il valore del linguaggio

    linguaggio fatto di ‘lettere’ anzichè di ‘numeri’ .
    Credo che questo ‘snobbare’ una lingua a discapito dell’altra – in entrambi le direzioni – sia un limite alla conoscenza di ogni fenomeno sia all’interno di un certo mondo dello scibile che in altro .
    Come ho già sottolineato , attraverso l’atteggiamento di BERGSON, di TEILHARD ed anche di fisici come EINSTEIN ,si può affermare che :’

    :’Egli(Essi) si interessò (interessarono)a questo vasto bacino del Sapere, volendo da un lato – come Teilhard – ampliare la visione scientifica in un ambito più ampio del Sapere , in cui la Scienza stessa trovasse i propri fondamenti in radici ben più profonde , dall’altro porre l’accento su un distinguo che andava inesorabilmente fatto …’ .

    E’ questa la chiave del Loro successo all’interno, ma non solo, dei Loro rispettivi campi d’indagine .

    Infine sottolineo che un non trascurabile contributo a dei traguardi all’interno di determinati studi è agevolato in certi casi anche dalla particolare STRUTTURA del LINGUAGGIO usato da chi compie la ricerca .
    Un esempio tra vari possibili ; nella lingua tedesca si hanno certi vantaggi per coloro che appartengono a tale Koinè .
    Essa è strutturata in modo tale che vanno usati determinati sostantivi o verbi per definire un fatto o un evento e solo quelli a differenza di quella,ad es., italiana che è molto più libera ma finisce per essere meno indicativa se utilizzata in rapporto alla Ricerca .
    Un esempio specifico ; in italiano od in francese per indicare sia il tempo atmosferico che croonologico si utilizza un’unica parola ; il tempo / le temps . In tedesco uso necessariamente due termini differenti ; das Wetter e die Zeit .
    Sembra un distinguo insignificante ma se associato ad altri elementi strutturali qui ora accennati si determinano differenze profonde che possono contribuire ad agevolare la Ricerca .

    Il TEMA di QUESTO POST .

    Nel procedimento visto nella prima parte,

    si è ricavato dal sistema tra la prima e seconda equazione [ la (I) e la (II) ] una terza equazione (III) al secondo grado e poi si è confrontato la radice di questa ( X**,la(V) con la radice della (I),X*,la(IV), così da ottenere la (VI); una equazione contenete radici, facilmente risolvibile scindendola,attraverso un sistema, in due equazioni risolvibili al secondo grado come visto .

    Se invece di affrontare questa procedura sopra vista che contiene una sua logica che rinvia ad un passo del procedimento risolutivo di una equazione di terzo grado ,

    si confrontano direttamente la radice positiva della (I) con quella negativa della (II) si ottiene la seguente equazione (alfa) ;

    L’equazione (alfa) non la si può risolvere come la sua omologa vista –la(VI)– ;

    cioè impostando un sistema con due equazioni ricavate dai suoi addendi .
    Questo per il fatto che non si è seguita – come già sottolineato – la procedura con cui si risolve una equazione di terzo grado .
    Se si prova ad impostare un sistema come ora detto si giunge a dei risultati non risolventi .

    Tuttavia l’equazione (alfa) trova un procedimento risolutivo solo se si conosce il valore risolvente di ‘p’ .

    QUESTO PROCEDIMENTO RISOLUTIVO NON HA DUNQUE VALORE IN SE, IN QUANTO RICHIEDE IL VALORE RISOLVENTE ( LA SOLUZIONE) .
    MA HA VALORE PER IL PROCEDIMENTO LOGICO CHE LO SOSTIENE .


    Elevando al quadrato l’equazione (alfa) – necessariamente due volte per elidere le radici – si ottiene l’equazione risolvente ma di terzo grado che è la seguente ;

    Ecco impostato il problema ;

    Data l’equazione (alfa) , risolverla – sapendo che la soluzione è in :
    : p = 3 (quindi utilizzando la soluzione come un dato ), – scomponendola in un sistema di due equazioni risolvibili entro il secondo grado .
    Oppure risolverla in altro modo, purchè non si utilizzi una equazione superiore al secondo grado .

    Ecco un procedimento;

    Se la soluzione è in p = 3 , posso sostituire questo valore nella equazione (alfa) ottenendo la seguente relazione tra i vari addendi;

    4 + 2 = 18 – 12 , la (III)

    [ Si noti che ho preso solo i valori aritmetici (cioè quelli positivi) delle due radici ] .

    Posto il valore più piccolo – 2 – pari ad ‘a’ ; dunque a = 2 , la (III) la posso riscrivere come ;

    2a + a = 9a – 6a , la (IV) .

    Si vede ora che il primo addendo – 2a – lo posso riscrivere come ;

    3(2a) = 6a, la (V),

    cioè si è così posta una relazione di eguaglianza tra il primo ed il quarto addendo .

    Allo stesso modo posso porre la relazione tra il secondo ed il terzo ;

    9(a) = 9a ,la (VI) .

    Al triplo del primo elemento della (V) corrisponde il triplo del primo elemento della equazione(alfa)

    ,cioè ;

    ; 3(2a) = 3(4) ,

    ed a questa corrisponde – 6a – della (IV),cioè il quarto addendo della equazione (alfa),dunque;

    ;

    La prima equazione del sistema è così individuata .

    La seconda segue ragionamento analogo ;

    ; a nove volte il secondo elemento della (IV),corrisponde il terzo elemento della (IV) stessa e quindi il terzo della equazione (alfa) .

    Dunque algebricamente ;

    La seconda equazione del sistema .

    Poste la (VII) e la (VIII) in un comune sistema ;

    elevando al quadrato la (VII) e poi la (VIII) per elidere la radice si ottiene la relazione al secondo grado;

    Entrambe hanno soluzione per p =3 .

    Nota;
    questo procedere per scomposizione, di una equazione in un sistema di due o più equazioni, è tipico del procedimento risolutivo di equazioni al terzo grado .
    In alcuni casi la scomposizione è semplice, cioè basta confrontare i vari addendi per ottenere due equazioni con una comune necessaria soluzione .
    In questo specifico caso il procedimento risolutivo non è stato possibile se non conoscendo a priori la soluzione stessa.
    ;MA SI NOTI E SI RICORDI IL POST del 26/giugno/2011 QUI SOPRA DENOMINATO; ”TERZO” METODO RISOLUTIVO…’ .
    Qui, questo procedimento di semplice raffronto risolutivo tra i vari addendi della equazione di partenza ‘funziona’.[ E’ l’equazione ‘ marcata (VI) ‘,qui sopra e nel post prima parte ].
    E se ne è spiegata la ragione di ciò .
    Procedimento che è frutto NON DEL CASO, ma di un contesto logico molto più ampio di un semplice procedimento algebrico .

    In questo caso ora analizzato – con l’equazione (alfa) – si è dovuto procedere con grande complessità per individuare i rapporti di valore tra i vari addendi come visto .

  13. L’ ORIGINE del PROBLEMA/LOGO (principale) di questo BLOG .


    Pierre Teilhard de Chardin

    Nota;
    concludo circa il personaggio di cui fatto cenno – e pubblicata fotografia – nel post qui subito sopra .
    Pierre Teilhard de Chardin
    visse tra la seconda meta’ del XIX sec. e la prima del successivo. Fu tra gli ultimi Ricercatori che pote’ permettersi di spaziare utilmente in svariati campi dello scibile,grazie al fatto che ancora la scienza non era cosi’ avanzata da richiedere una irrinunciabile specializzazione.
    Gesuita per Vocazione profonda, seppe conciliare con grande ortodossia la Fede abbracciata e le proprie Ricerche scientifiche.
    Queste spaziarono dal campo antropologico/culturale alle ricerche nel campo della paleontologia.
    MA FU ANCHE UN OTTIMO MATEMATICO [ questo per il fatto che i Suoi primi interessi furono rivolti al campo della ‘FISICA’ , disciplina che notoriamente richiede una solida preparazione matematica ], anche se le Sue Ricerche nei campi ora citati lo fecero recedere da un impegno maggiore in questa disciplina.

    La Sua teoria sull’ ”EVOLUZIONE COSMICA” e’ ancor oggi assai interessante.
    L’Idea fondamentale di questo Suo Pensiero e’ che in ogni Essere animato ,anche il piu’ semplice , vi e’ un Ordine esterno ed interno.Quest’ultimo cresce man mano che si passa dalla geo-sfera alla bio-sfera ed infine alla neo-sfera(la sfera mentale) {insieme costituiscono le ”antropo sfere”}.

    TUTTO FINISCE PER CONVERGERE VERSO UN ORDINE FINALE (esterno), VERSO ” UN’ OMEGA ” .

    Ma quest’Ordine non si ferma all’uomo;

    ; lo superera’ tendendo ad una maggiore complessita’ ed unita’ .

    Tutto questo Suo Pensiero,assai moderno ancor oggi, e’ il frutto di un lavoro interpretativo-da Lui svolto,dopo le Ricerche antropologiche e paleontologiche – di tutto il Suo stesso lavoro scientifico .Lavoro che coraggiosamente difese di fronte all’ortodossia religiosa.

    Torniamo ora

    all’ ORIGINE del PROBLEMA/LOGO (principale) di questo BLOG.

    .

    Il TESTO/FRONTESPIZIO – con RELATIVA PAGINA e SOLUZIONE – CONTENENTE il PROBLEMA/LOGO di questo BLOG .

    .

    .
    [‘ сборник задач по математике для поступающих во втузы
    ovvero ;
    raccolta di problemi matematici per l’ammissione in collegi tecnici ‘ ] .

    ( Nota;
    confrontando la trascrizione del testo compilato con caratteri cirillici secondo ‘immagine’ qui sopra con qualla secondo ‘scrittura/testo'(in grassetto) si notano delle differenze .
    Queste sono dovute a differente traslitterazione delle lettere cirilliche ; secondo traslitterazione ‘corsiva’ , la prima , e secondo traslitterazione ‘posata’ la seconda ) .

    Il TESTO del PROBLEMA posto ( come sopra, versione,prima ‘corsiva’ ,poi ‘posata’

    [ При каком целом значении ‘р’ уравнения (I°equaz.) и (II°equaz.) имеют общий корень ?

    Найти этот корень . ]
    .
    [ Per quale valore intero di ‘p’ , la( I°equazione) e la (II°equazione) hanno una comune radice?

    Trovare questa radice . ]

    Nella fotografia di questo post

    e’ riprodotto il frontespizio di un testo matematico.
    Esso contiene – come testimoniano le due fotografie sottostanti al frontespizio – il testo del problema che ha generato la nascita di questo blog, nonche’ la relativa soluzione, ma come si può vedere non è indicato alcun iter risolutivo .

    Il problema in se era solo uno tra tanti senza un apparente particolare interesse e,come la nota risolutiva testimonia, di esso non era riportata che la soluzione e non il procedimento risolutivo.
    Il semplice fatto che appariva fuori luogo una soluzione al terzo grado – essendo il testo/eserciziario destinato alla preparazione per l’esame d’ammissione ai Collegi universitari – invito’ al sospetto che potesse esservi altra via risolutiva,cioe’ meno complessa da quella offerta dalla risoluzione di una equazione al terzo grado.
    In effetti le soluzioni poi trovate sono ben tre più una ; tre al secondo grado ed una al primo.

    Spesso da circostanze del tutto insignificanti possono nascere degli interrogativi e quindi risposte per nulla insignificanti.
    Si noti che da un caso particolare come questo si sono astratte delle semplici ma corrette ed interessanti generalizzazioni,

    LEGANDO come mai FATTO il SECONDO al TERZO GRADO .

    Per chi vuole, non resta in merito che cercare di trovare altra ulteriore via risolutiva.

    Saluti, topo.gigio .

  14. BREVI CONSIDERAZIONI CIRCA QUANTO QUI SOPRA PUBBLICATO .


    Blaise PASCAL.

    A destra

    , Benedetto CROCE

    .

    Qui sotto, L’ingegnere

    .

    .

    _______________________________________

    Alcuni Pensieri dei tre Personaggi qui sopra riportati in fotografia .

    .

    Il primo dei tre ;

    ; Blaise PASCAL ebbe ad affermare nei Suoi famosi ‘ Pensieri ‘ – il libro che non c’è ‘- :’

    ( Qui sopra sulla destra,Frontespizio del testo, di cui sopra )

    .
    :” Avevo trascorso molto tempo nello studio delle Scienze astratte, e la scarsa comunicazione umana che ne trassi attraverso esse, generò in me ripugnanza .
    Quando poi ho iniziato a studiare l’Uomo , ho capito che quelle Scienze astratte non sono proprie dell’ Uomo poichè tanto più mi occupavo di esse tanto più smarrivo il senso della mia condizione mentre Coloro che le ignoravano ottenevano l’effetto opposto .
    Ho perdonato a costoro di saperne poco . Ed ho creduto di trovare molti compagni nello studio dell’ Uomo ,e che questo studio fosse quello Lui proprio .

    Ma mi sono ingannato :

    : Coloro che si occupano dello Studio dell’ Uomo sono ancora meno consapevoli di quelli che studiano la geometria .

    E’ solo perchè si è incapaci di questo studio dell’ Uomo che si cerca il resto .
    Ma non sarà ,forse, che questo studio di se stessi non è neanche questa la Scienza necessaria all’ Uomo ,e che è meglio per Lui ignorare lo studio di se stesso, se vuole essere felice ? ”

    I Pensieri ( Pensées ) di Blaise Pascal ;
    (581, Le Guern) / (144, Brunshvicg) / (80, Chevalier)/( 2, altra categorizz.)

    ___________

    Il secondo dei tre ;

    ; Benedetto CROCE scrisse :’

    :’ Le finzioni delle Scienze naturali e matematiche (ndt;le Scienze astratte per Pascal) postulano di necessità l’idea di un’idea che non sia finta.
    La logica, come Scienza del conoscere , non può essere , nel suo oggetto proprio , Scienza di finzioni e di nomi , ma Scienza della Scienza vera e perciò del concetto filosofico e quindi Filosofia della Filosofia .’

    ____________

    Il terzo dei tre ;

    ; ‘ l’ Ingegnere ‘ ovvero il noto Roberto VACCA

    va ‘candidamente affermando ‘ l’ateismo ‘ come Scienza assoluta di base senza la quale ogni Studio scientifico è, o impossibile o seriamente ostacolato nel suo iter .

    Ricordo che snobbò letteralmente l’Opera scientifica di Pascal

    – il primo a costruire un calcolatore ( la famosa ‘pascalina’ ) –

    per il solo evidente fatto che Pascal aveva – come si nota dalla lettura dei Suoi ‘Pensieri’ – un’anima vocata al misticismo .
    Senza contare il fatto che molti contributi alla matematica vengono proprio da noti Personaggi del Mondo religioso ,

    [ ad es., Bonaventura Cavalieri , Maria G. Agnesi, Luca Pacioli, Pierre Teilhard de Chardin ( nel post qui sopra menzionato ) ,il grandissimo e purtroppo misconosciuto Nicola di Oresme, che fu uno dei vari matematici che idearono singolarmente gli assi coordinati ,o coordinate geometriche, come il Nostro R. Bombelli (**) per altra via etc…]
    ____________

    Come si può notare si passa – dopo rassegna di questi tre noti intellettuali – da un estremo all’altro .

    L’unico che mostra un palese equilibrio – rafforzato dal fatto di essere una Figura del XVII° sec. ,dunque di ben quattrocento anni or sono circa – è Blaise PASCAL .

    Si noti ;

    Pascal
    non rifiuta a priori lo studio delle Scienze astratte ( quelle naturali e matematiche secondo definizione di Croce ) anzi le indaga e anche con grande profitto rimanendo il Suo impegno scientifico ad eterna memoria anche per i posteri .

    Croce
    al contrario ed a priori le svilisce facendo di esse o mera Scienza descrittiva, come quelle naturali o, semplice tecnica come quelle matematiche .
    Le conseguenze di questo pensiero crociano saranno evidenti di li a poco ; la speculazione puramente astratta dunque idealistica sfoceranno nella retorica che come la peggiore delle filosofie – che non sono per nulla filosofia – lasceranno il tempo che trovano facendo così scadere l’Italia dal novero dei Paesi più progrediti NON SOLO dal punto di vista tecnico/industriale ma anche intellettuale .

    Il terzo – l’ingegnere – si qualifica da se .
    Quando si pensa – come ebbe ad affermare/ribadire Oswald SPENGLER( ne :’ Il tramonto dell’Occidente ‘) – di escludere dalla vita umana tutto ciò che non è oggetto di indagine oggettiva , si fa della Scienza l’unico punto di riferimento valido/attendibile e si finisce così inconsapevolmente per abbracciare una nuova religione .
    E purtroppo ,come la Storia ha mostrato, la più fanatica e farneticante di tutte .

    (**) vedi in merito al lavoro di ideazione degli ‘assi coordinati’ o ‘coordinate geometriche’ da parte di R. Bombelli nel post del 26/maggio/2011 ( all’interno della pagina : ‘MATEMATICA/LOGICA/GIOCHI, tracce varie ‘‘) post denominato :’

    ” Un SALTO nel PASSATO.

    Alias,
    la NASCITA dei NUMERI COMPLESSI od IMMAGINARI

    e

    la NASCITA degli ”ASSI bombelliani” poi cartesiani .”

    Anche direttamente attraverso il seguente link ;

    https://soloalsecondogrado.wordpress.com/matematica-logica-giochi-tracce-varie/

    Saluti, topo.gigio .

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